trajektoria równania

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
duze_jablko2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 30 cze 2013, o 18:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa

trajektoria równania

Post autor: duze_jablko2 » 27 paź 2018, o 11:59

Wyznacz trajektorię równania różniczkowego
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x'=y\\y'=-x \end{array}}\)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: trajektoria równania

Post autor: Janusz Tracz » 27 paź 2018, o 12:31

Z pierwszego równania wynika że \(\displaystyle{ x''=y'}\) podstawiając to do drugiego równania mamy

\(\displaystyle{ x''=-x}\)

To łatwo rozwiązać jako że jest to równanie 2 stopnia o stałych współczynnikach postaci:

\(\displaystyle{ x''+x=0}\)

Po zastosowaniu procedury na rozwiązanie z wielomianem charakterystycznym tego równania mamy:

\(\displaystyle{ x=C_1\cos t+C_2\sin t}\)

Teraz już łatwo wyznaczyć \(\displaystyle{ y}\) jako że \(\displaystyle{ y=x'=\left( C_1\cos t+C_2\sin t\right)'}\)

ODPOWIEDZ