Strona 1 z 1
Transformata Fouriera
: 24 cze 2018, o 15:58
autor: Mondo
Witam,
próbuję wyznaczyć transformatę Fouriera funkcji impuls:
\(\displaystyle{ F( \delta (t - t_0)) = \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (t - t_0)e^{-j\omega t}dt =?}\)
Jak wyznaczyć całkę funkcji \(\displaystyle{ \delta (t - t_0)}\)?
Dzieki za pomoc
Transformata Fouriera
: 27 cze 2018, o 18:44
autor: janusz47
Z definicji przekształcenia Fouriera:
\(\displaystyle{ F[\delta (t - t_0)] = \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (t - t_0)e^{-j\omega t}dt}\) (1)
Przypomnijmy jedną z własności całkowych (własność przesunięcia) funkcji \(\displaystyle{ \delta:}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t) \delta(t - t_{0})dt = f(t_{0})}\) (2)
Wykorzystując równanie (2) dla funkcji \(\displaystyle{ f(t) = e^{-j\omega t},}\)
otrzymujemy wzór na transformatę Fouriera (1)
\(\displaystyle{ F[\delta (t - t_0)] = \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (t - t_0)e^{-j\omega t}dt = e^{-j\omega
t_{0}}.}\)
Transformata Fouriera
: 30 cze 2018, o 17:57
autor: Mondo
janusz47 pisze:
Przypomnijmy jedną z własności całkowych (własność przesunięcia) funkcji \(\displaystyle{ \delta:}\)
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t) \delta(t - t_{0})dt = f(t_{0})}\) (2)
No i tego mi brakowało, natomiast pojawia się pytania - jak udowodnić słuszność powyższego równania?
Transformata Fouriera
: 30 cze 2018, o 19:24
autor: janusz47
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t) \delta(t - t_{0})dt = f(t_{0})}\)
Dowód:
Z definicji \(\displaystyle{ \delta}\) - funkcji:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t- t_{0})dt =\int_{-\infty}^{\infty}f(t_{0})\delta(t - t_{0})dt= f(t_{0})\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t- t_{0})dt = f(t_{0})\cdot 1 = \\ =f(t_{0}).}\)
c.n.d.
Transformata Fouriera
: 1 lip 2018, o 18:50
autor: Mondo
Generalnie to mocno naciągany wydaje mi się ten dowód
Wydaje mi się też, iż zakładamy sobie (ze względu na to iż delta diraca jest 0 wszedzie poza punktem 0), że funkcja ta "filtruje każdą" przez nią pomnożoną tak, że tylko w punkcie 0 ma ona swoją wartość.
Na szczególną uwagę zasługuje to równanie:
janusz47 pisze:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t- t_{0})dt = 1}\)
W jaki sposób ta całka wynosi 1? Dla mnie to bez sensu trochę
PS: co oznacza
c.n.d.?
Re: Transformata Fouriera
: 1 lip 2018, o 19:12
autor: Janusz Tracz
Nie wszystkie rzeczy można udowodniać. Definicje są często postulatami o własnościach dla nas "wygodnych" i część rzeczy jest po prosty prawdziwa z definicji. Mam na myśli
\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (x) \ \mbox{d}x =1}\)
Ta równość jest częścią definicji (nieformalnej ale często propagowanej szczególnie na uczelniach technicznych)
. Dokładniejszych wyjaśnień a właściwie bardziej formalnych przynosi
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikibooks.org/wiki/Metody_matematyczne_fizyki/Dystrybucje_jako_funkcje_uog%C3%B3lnione
i definicja.
c.n.d to skrót od "co należało dowieść".
Transformata Fouriera
: 2 lip 2018, o 08:54
autor: janusz47
Skrót c.n.d. oznacza co należało dowieść.