Transformata Fouriera

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 6 razy

Transformata Fouriera

Post autor: Mondo » 24 cze 2018, o 15:58

Witam,

próbuję wyznaczyć transformatę Fouriera funkcji impuls:

\(\displaystyle{ F( \delta (t - t_0)) = \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (t - t_0)e^{-j\omega t}dt =?}\)

Jak wyznaczyć całkę funkcji \(\displaystyle{ \delta (t - t_0)}\)?

Dzieki za pomoc

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5024
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 1104 razy

Transformata Fouriera

Post autor: janusz47 » 27 cze 2018, o 18:44

Z definicji przekształcenia Fouriera:

\(\displaystyle{ F[\delta (t - t_0)] = \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (t - t_0)e^{-j\omega t}dt}\) (1)

Przypomnijmy jedną z własności całkowych (własność przesunięcia) funkcji \(\displaystyle{ \delta:}\)

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t) \delta(t - t_{0})dt = f(t_{0})}\) (2)

Wykorzystując równanie (2) dla funkcji \(\displaystyle{ f(t) = e^{-j\omega t},}\)

otrzymujemy wzór na transformatę Fouriera (1)

\(\displaystyle{ F[\delta (t - t_0)] = \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (t - t_0)e^{-j\omega t}dt = e^{-j\omega t_{0}}.}\)

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 6 razy

Transformata Fouriera

Post autor: Mondo » 30 cze 2018, o 17:57

janusz47 pisze: Przypomnijmy jedną z własności całkowych (własność przesunięcia) funkcji \(\displaystyle{ \delta:}\)

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t) \delta(t - t_{0})dt = f(t_{0})}\) (2)
No i tego mi brakowało, natomiast pojawia się pytania - jak udowodnić słuszność powyższego równania?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5024
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 1104 razy

Transformata Fouriera

Post autor: janusz47 » 30 cze 2018, o 19:24

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t) \delta(t - t_{0})dt = f(t_{0})}\)

Dowód:

Z definicji \(\displaystyle{ \delta}\) - funkcji:

\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t- t_{0})dt =\int_{-\infty}^{\infty}f(t_{0})\delta(t - t_{0})dt= f(t_{0})\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t- t_{0})dt = f(t_{0})\cdot 1 = \\ =f(t_{0}).}\)

c.n.d.

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 339
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 6 razy

Transformata Fouriera

Post autor: Mondo » 1 lip 2018, o 18:50

Generalnie to mocno naciągany wydaje mi się ten dowód
Wydaje mi się też, iż zakładamy sobie (ze względu na to iż delta diraca jest 0 wszedzie poza punktem 0), że funkcja ta "filtruje każdą" przez nią pomnożoną tak, że tylko w punkcie 0 ma ona swoją wartość.

Na szczególną uwagę zasługuje to równanie:
janusz47 pisze: \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}\delta(t- t_{0})dt = 1}\)
W jaki sposób ta całka wynosi 1? Dla mnie to bez sensu trochę

PS: co oznacza c.n.d.?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2272
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 65 razy
Pomógł: 679 razy

Re: Transformata Fouriera

Post autor: Janusz Tracz » 1 lip 2018, o 19:12

Nie wszystkie rzeczy można udowodniać. Definicje są często postulatami o własnościach dla nas "wygodnych" i część rzeczy jest po prosty prawdziwa z definicji. Mam na myśli

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty }\delta (x) \ \mbox{d}x =1}\)

Ta równość jest częścią definicji (nieformalnej ale często propagowanej szczególnie na uczelniach technicznych) Delty Diraca. Dokładniejszych wyjaśnień a właściwie bardziej formalnych przynosi teoria dystrybucji i definicja.

c.n.d to skrót od "co należało dowieść".

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5024
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 1104 razy

Transformata Fouriera

Post autor: janusz47 » 2 lip 2018, o 08:54

Skrót c.n.d. oznacza co należało dowieść.

ODPOWIEDZ