Transformata Laplace'a
: 9 sty 2018, o 18:22
Witam,
Potrzebuję pomocy przy dokończeniu zadania. Celem jest rozwiązanie tego układu za pomocą transformaty Laplace'a
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x'+y'+y=e^t\\x'-y'+x=0\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x(0)=0\\y(0)=1\end{array}\right.}\)
Obkładam w każdym równaniu obustronnie transformatą Laplace'a.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} L(x')+L(y')+L(y)=(e^t)\\L(x')-L(y')+L(x)=0\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} sX(s)+sY(y)+Y(s)=\frac{1}{s-1}\\sX(s)-sY(s)+X(s)=0\end{array}\right.}\)
Przekształcam pierwsze równanie i podstawiam do drugiego równania.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} Y(s)=\frac{sX(s)+X(s)}{s}\\sX(s)+\frac{s(sX(s)+X(s))}{s}+\frac{sX(s)+X(s)}{s}=\frac{1}{s-1}\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ 2s^2X(s)+2sX(s)+X(s)= \frac{s}{s-1}}\)
\(\displaystyle{ X(s)=\frac{s}{(s-1)(2s^2+2s+1)}}\)
Zamieniam na ułamki proste
\(\displaystyle{ \frac{s}{(s-1)(2s^2+2s+1)}=\frac{A}{(s-1)}+\frac{Bs+C}{2s^2+2s+1}}\)
\(\displaystyle{ s=2As^2+2As+A+Bs^2-Bs+Cs-C}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 0=2A+B\\1=2A-B+C\\0=A-C\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} B=\frac {-2}{5}\\A= \frac{1}{5}\\C=\frac{1}{5}\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ X(s)=\frac{\frac{1}{5}}{s-1}+\frac{\frac{-2s}{5}+\frac{1}{5}}{2s^2+2s+1}}\)
Analogicznie obliczam Y(s)
\(\displaystyle{ Y(s)=\frac{s+1}{(s-1)(2s^2+2s+1)} \\
\vdots \\ \\
\left\{\begin{array}{l} B=\frac {-4}{5}\\A= \frac{2}{5}\\C=\frac{-3}{5}\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ Y(s)=\frac{\frac{2}{5}}{s-1}+\frac{\frac{-4s}{5}+\frac{-3}{5}}{2s^2+2s+1}}\)
Liczę transformatę odwrotną
\(\displaystyle{ x(t)=L^{-1}\big(X(s)\big)=L^{-1}\left( \frac{\frac{1}{5}}{s-1}\right)+L^{-1}\left(\frac{\frac{-2s}{5}+\frac{1}{5}}{2s^2+2s+1}\right)}\)
\(\displaystyle{ y(t)=L^{-1}\big(Y(s)\big)=L^{-1}\left(\frac{\frac{2}{5}}{s-1}\right)+L^{-1}\left(\frac{\frac{-4s}{5}+\frac{-3}{5}}{2s^2+2s+1}\right)}\)
Na tym etapie nie wiem jaką postać przyjmie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) po obliczeniu transformaty odwrotnej.
Wiem, że przy \(\displaystyle{ L^{-1}\left(\frac{\frac{2}{5}}{s-1}\right)}\) mogę wyciągnąć \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\) i wtedy będę miał \(\displaystyle{ e^{t},}\) ale problem jest przy \(\displaystyle{ L^{-1}\left(\frac{\frac{-2s}{5}+\frac{1}{5}}{2s^2+2s+1}\right)}\) .
Potrzebuję pomocy przy dokończeniu zadania. Celem jest rozwiązanie tego układu za pomocą transformaty Laplace'a
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x'+y'+y=e^t\\x'-y'+x=0\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x(0)=0\\y(0)=1\end{array}\right.}\)
Obkładam w każdym równaniu obustronnie transformatą Laplace'a.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} L(x')+L(y')+L(y)=(e^t)\\L(x')-L(y')+L(x)=0\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} sX(s)+sY(y)+Y(s)=\frac{1}{s-1}\\sX(s)-sY(s)+X(s)=0\end{array}\right.}\)
Przekształcam pierwsze równanie i podstawiam do drugiego równania.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} Y(s)=\frac{sX(s)+X(s)}{s}\\sX(s)+\frac{s(sX(s)+X(s))}{s}+\frac{sX(s)+X(s)}{s}=\frac{1}{s-1}\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ 2s^2X(s)+2sX(s)+X(s)= \frac{s}{s-1}}\)
\(\displaystyle{ X(s)=\frac{s}{(s-1)(2s^2+2s+1)}}\)
Zamieniam na ułamki proste
\(\displaystyle{ \frac{s}{(s-1)(2s^2+2s+1)}=\frac{A}{(s-1)}+\frac{Bs+C}{2s^2+2s+1}}\)
\(\displaystyle{ s=2As^2+2As+A+Bs^2-Bs+Cs-C}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 0=2A+B\\1=2A-B+C\\0=A-C\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} B=\frac {-2}{5}\\A= \frac{1}{5}\\C=\frac{1}{5}\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ X(s)=\frac{\frac{1}{5}}{s-1}+\frac{\frac{-2s}{5}+\frac{1}{5}}{2s^2+2s+1}}\)
Analogicznie obliczam Y(s)
\(\displaystyle{ Y(s)=\frac{s+1}{(s-1)(2s^2+2s+1)} \\
\vdots \\ \\
\left\{\begin{array}{l} B=\frac {-4}{5}\\A= \frac{2}{5}\\C=\frac{-3}{5}\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ Y(s)=\frac{\frac{2}{5}}{s-1}+\frac{\frac{-4s}{5}+\frac{-3}{5}}{2s^2+2s+1}}\)
Liczę transformatę odwrotną
\(\displaystyle{ x(t)=L^{-1}\big(X(s)\big)=L^{-1}\left( \frac{\frac{1}{5}}{s-1}\right)+L^{-1}\left(\frac{\frac{-2s}{5}+\frac{1}{5}}{2s^2+2s+1}\right)}\)
\(\displaystyle{ y(t)=L^{-1}\big(Y(s)\big)=L^{-1}\left(\frac{\frac{2}{5}}{s-1}\right)+L^{-1}\left(\frac{\frac{-4s}{5}+\frac{-3}{5}}{2s^2+2s+1}\right)}\)
Na tym etapie nie wiem jaką postać przyjmie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) po obliczeniu transformaty odwrotnej.
Wiem, że przy \(\displaystyle{ L^{-1}\left(\frac{\frac{2}{5}}{s-1}\right)}\) mogę wyciągnąć \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\) i wtedy będę miał \(\displaystyle{ e^{t},}\) ale problem jest przy \(\displaystyle{ L^{-1}\left(\frac{\frac{-2s}{5}+\frac{1}{5}}{2s^2+2s+1}\right)}\) .