Matematyka.pl

Potrzebuje pomocy w rozwiązaniu takiego równania:

\(\displaystyle{ y' =\frac{y}{x+y^3}}\)

Rozważmy równanie odwrócone. Mamy \(\displaystyle{ \frac{\dd x}{\dd y}=\frac{x}{y}+y^2.}\) Wstawiamy nową funkcję niewiadomą \(\displaystyle{ u(y)=\frac{x}{y}.}\) Otrzymamy równanie o zmiennych rozdzielonych.

Na pewno to podstawienie rozdzieli zmienne?
Równanie nie wygląda na jednorodne.
Równanie można rozwiązywać jako liniowe.

mariuszm, mamy \(\displaystyle{ x=uy}\) i różniczkując względem \(\displaystyle{ y}\) mamy \(\displaystyle{ x'=u'y+u}\) . Wstawiając do równania mamy \(\displaystyle{ u'y+u=u+y^2}\) , skąd \(\displaystyle{ u'=y}\) (jeśli warunku początkowego nie stawiamy dla \(\displaystyle{ y=0}\) ). Jest to niewątpliwie równanie o zmiennych rozdzielonych.

Na pierwszy rzut oka tego nie zauważyłem, widziałem w tym równaniu równanie liniowe.
Jak ktoś lubi zupełne to stosunkowo łatwo jest znaleźć czynnik całkujący nawet bez odwracania tego równania.

\(\displaystyle{ y' =\frac{y}{x+y^3}\\
\left( x+y^3\right)y'=y\\
y-\left( x+y^3\right)y'=0\\
y \mbox{d}x -\left( x+y^3\right) \mbox{d}y=0\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x}=2\\
\mu\left( x,y\right)=\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right)\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x}=-\left( x+y^3\right)f\left( x\right)-yg\left( y\right)\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x}=-\left( x+y^3\right) \cdot 0-y \cdot \frac{A}{y}\\
2=-A\\
A=-2\\
\frac{ \mbox{d}\psi}{\psi}=-\frac{2}{y} \mbox{d}y\\
\ln{\left| \psi\right| }=-2\ln{\left| y\right| }\\
\psi\left( y\right)=\frac{1}{y^2}\\
\mu\left( y\right)=\frac{1}{y^2}\\}\)

\(\displaystyle{ y \mbox{d}x -\left( x+y^3\right) \mbox{d}y=0\\
\frac{1}{y} \mbox{d}x -\frac{ x+y^3}{y^2} \mbox{d}y=0\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}=-\frac{1}{y^2}= \frac{ \partial Q}{ \partial x}\\
\frac{ \partial F}{ \partial x}=\frac{1}{y}\\
F\left( x,y\right)=\frac{x}{y}+g\left(y \right)\\
\frac{ \partial F}{ \partial y}=- \frac{ x+y^3}{y^2}\\
-\frac{x}{y^2} +g'\left(y \right)=- \frac{ x+y^3}{y^2}\\
g'\left(y \right)=-y\\
g\left( y\right) =-\frac{y^2}{2}\\
F\left( x,y\right)=\frac{x}{y}-\frac{y^2}{2}\\
\frac{x}{y}-\frac{y^2}{2}=C_{1}\\
\frac{2x}{y}-y^2=C\\}\)

Twój pomysł jest jednak całkiem niezły, bo prowadzi do równania, które poznajemy najwcześniej.