Rówanie różniczkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
fluffiq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 124
Rejestracja: 17 gru 2017, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 5 razy

Rówanie różniczkowe

Post autor: fluffiq » 17 gru 2017, o 22:40

Potrzebuje pomocy w rozwiązaniu takiego równania:

\(\displaystyle{ y' =\frac{y}{x+y^3}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18713
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3713 razy

Re: Rówanie różniczkowe

Post autor: szw1710 » 17 gru 2017, o 22:45

Rozważmy równanie odwrócone. Mamy \(\displaystyle{ \frac{\dd x}{\dd y}=\frac{x}{y}+y^2.}\) Wstawiamy nową funkcję niewiadomą \(\displaystyle{ u(y)=\frac{x}{y}.}\) Otrzymamy równanie o zmiennych rozdzielonych.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6723
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1217 razy

Re: Rówanie różniczkowe

Post autor: mariuszm » 19 gru 2017, o 19:43

Na pewno to podstawienie rozdzieli zmienne?
Równanie nie wygląda na jednorodne.
Równanie można rozwiązywać jako liniowe.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18713
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3713 razy

Re: Rówanie różniczkowe

Post autor: szw1710 » 19 gru 2017, o 19:47

mariuszm, mamy \(\displaystyle{ x=uy}\) i różniczkując względem \(\displaystyle{ y}\) mamy \(\displaystyle{ x'=u'y+u}\) . Wstawiając do równania mamy \(\displaystyle{ u'y+u=u+y^2}\) , skąd \(\displaystyle{ u'=y}\) (jeśli warunku początkowego nie stawiamy dla \(\displaystyle{ y=0}\) ). Jest to niewątpliwie równanie o zmiennych rozdzielonych.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6723
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1217 razy

Re: Rówanie różniczkowe

Post autor: mariuszm » 19 gru 2017, o 20:26

Na pierwszy rzut oka tego nie zauważyłem, widziałem w tym równaniu równanie liniowe.
Jak ktoś lubi zupełne to stosunkowo łatwo jest znaleźć czynnik całkujący nawet bez odwracania tego równania.

\(\displaystyle{ y' =\frac{y}{x+y^3}\\ \left( x+y^3\right)y'=y\\ y-\left( x+y^3\right)y'=0\\ y \mbox{d}x -\left( x+y^3\right) \mbox{d}y=0\\ \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x}=2\\ \mu\left( x,y\right)=\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right)\\ \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x}=-\left( x+y^3\right)f\left( x\right)-yg\left( y\right)\\ \frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x}=-\left( x+y^3\right) \cdot 0-y \cdot \frac{A}{y}\\ 2=-A\\ A=-2\\ \frac{ \mbox{d}\psi}{\psi}=-\frac{2}{y} \mbox{d}y\\ \ln{\left| \psi\right| }=-2\ln{\left| y\right| }\\ \psi\left( y\right)=\frac{1}{y^2}\\ \mu\left( y\right)=\frac{1}{y^2}\\}\)

\(\displaystyle{ y \mbox{d}x -\left( x+y^3\right) \mbox{d}y=0\\ \frac{1}{y} \mbox{d}x -\frac{ x+y^3}{y^2} \mbox{d}y=0\\ \frac{ \partial P}{ \partial y}=-\frac{1}{y^2}= \frac{ \partial Q}{ \partial x}\\ \frac{ \partial F}{ \partial x}=\frac{1}{y}\\ F\left( x,y\right)=\frac{x}{y}+g\left(y \right)\\ \frac{ \partial F}{ \partial y}=- \frac{ x+y^3}{y^2}\\ -\frac{x}{y^2} +g'\left(y \right)=- \frac{ x+y^3}{y^2}\\ g'\left(y \right)=-y\\ g\left( y\right) =-\frac{y^2}{2}\\ F\left( x,y\right)=\frac{x}{y}-\frac{y^2}{2}\\ \frac{x}{y}-\frac{y^2}{2}=C_{1}\\ \frac{2x}{y}-y^2=C\\}\)

Twój pomysł jest jednak całkiem niezły, bo prowadzi do równania, które poznajemy najwcześniej.

ODPOWIEDZ