Matematyka.pl

Witam, mam takie zadanie: Rozwiaz rownanie rozniczkowe drugiego rzedu - \(\displaystyle{ a x''(t) + b x'(t) + cx(t) = k \cdot u(t)}\) dla parametrów \(\displaystyle{ a=2, b=5, c=3}\). Przedstawić rozwiązanie ogólne i szczególne.
Rozważ przypadki:
(1) wymuszenie \(\displaystyle{ u(t) = 1, k=2}\) warunki początkowe \(\displaystyle{ x'(0)=0, x(0) = 2}\)
Moglby mnie ktos naprowadzic od czego zaczac? Kompletnie nie pamietam tego, a miałem to semestr temu, niestety zeszytu tez nie mam przy sobie.

Pachnie automatyką na kilometr. Więc jeśli chcesz pozostać w klimatach automatyki to zacznij od obustronnej . I policz .

A jeśli nie chce koniecznie pozostać w klimatach automatyki? Oczywiście wyucze sie jak to się dokładnie robiło, jednak na teraz potrzebuje wiedzieć jak rozwiązać przykłady tego typu.

Jeśli nie chcesz pozostawać w klimatach automatyki to mimo wszystko polecam transformacja Laplace’a. A jeśli bardzo nie tego nie chcesz, to polecam .

Równanie z zadania zamieniasz na równanie jednorodne a następnie szukasz jego rozwiązania ogólnego. Potem szukasz rozwiązania szczególnego równania z zadania a na koniec suma tych rozwiązań jest równaniem ogólnym rr.

\(\displaystyle{ 2x^{''}+5x'+3x=0}\)

Zapisujesz równanie charakterystyczne

\(\displaystyle{ 2\lambda^2+5\lambda+3=0}\)

Wyznaczasz jedno pierwiastki i robisz kombinację liniową \(\displaystyle{ e^{\lambda_1}}\), \(\displaystyle{ e^{\lambda_2}}\) z dowolnymi stałymi.
W tym przypadku

\(\displaystyle{ x(t)=C_1e^{-t}+C_2e^{- \frac{3}{2}t }+\phi}\)

Przy czym \(\displaystyle{ \phi}\) jest szczególnym rozwiązaniem równia niejednorodnego. Przewiduje się te rozwiązania korzystając z "metody przewidywań". W tym konkretnym przypadku prawa strona jest liczbą więc przewidujemy \(\displaystyle{ \phi=A\in\RR}\). Po podstawianiu rozwiązania szczególnego do równania dostajesz że

\(\displaystyle{ 3\phi=2\ \Rightarrow \ \phi= \frac{2}{3}}\)

A więc rozwiązaniem jest

\(\displaystyle{ x(t)=C_1e^{-t}+C_2e^{- \frac{3}{2}t }+\frac{2}{3}}\)

Żeby zakończyć zadanie musisz policzyć stałe \(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\). Robisz to zwykłym układem równań wykorzystując informację o warunkach początkowych.
Zapisz

\(\displaystyle{ \begin{cases} x(0)=2\\ x'(0)=0 \end{cases} \Rightarrow C_1,\ C_2=...}\)

Dziękuje Ci bardzo