Rownanie rozniczkowe drugiego rzedu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
YupYup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 4 gru 2016, o 13:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy

Rownanie rozniczkowe drugiego rzedu

Post autor: YupYup » 16 paź 2017, o 18:23

Witam, mam takie zadanie: Rozwiaz rownanie rozniczkowe drugiego rzedu - \(\displaystyle{ a x''(t) + b x'(t) + cx(t) = k \cdot u(t)}\) dla parametrów \(\displaystyle{ a=2, b=5, c=3}\). Przedstawić rozwiązanie ogólne i szczególne.
Rozważ przypadki:
(1) wymuszenie \(\displaystyle{ u(t) = 1, k=2}\) warunki początkowe \(\displaystyle{ x'(0)=0, x(0) = 2}\)
Moglby mnie ktos naprowadzic od czego zaczac? Kompletnie nie pamietam tego, a miałem to semestr temu, niestety zeszytu tez nie mam przy sobie.
Ostatnio zmieniony 16 paź 2017, o 22:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol pochodnej piszemy bez indeksu górnego. Symbol mnożenia to \cdot.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3146
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1070 razy

Rownanie rozniczkowe drugiego rzedu

Post autor: Janusz Tracz » 16 paź 2017, o 18:33

Pachnie automatyką na kilometr. Więc jeśli chcesz pozostać w klimatach automatyki to zacznij od obustronnej Transformacja Laplace’a. I policz Transmitancja operatorowa.

YupYup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 4 gru 2016, o 13:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy

Rownanie rozniczkowe drugiego rzedu

Post autor: YupYup » 16 paź 2017, o 18:56

A jeśli nie chce koniecznie pozostać w klimatach automatyki? Oczywiście wyucze sie jak to się dokładnie robiło, jednak na teraz potrzebuje wiedzieć jak rozwiązać przykłady tego typu.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3146
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1070 razy

Rownanie rozniczkowe drugiego rzedu

Post autor: Janusz Tracz » 16 paź 2017, o 19:20

Jeśli nie chcesz pozostawać w klimatach automatyki to mimo wszystko polecam transformacja Laplace’a. A jeśli bardzo nie tego nie chcesz, to polecam metodę równania charakterystycznego.

Równanie z zadania zamieniasz na równanie jednorodne a następnie szukasz jego rozwiązania ogólnego. Potem szukasz rozwiązania szczególnego równania z zadania a na koniec suma tych rozwiązań jest równaniem ogólnym rr.

\(\displaystyle{ 2x^{''}+5x'+3x=0}\)

Zapisujesz równanie charakterystyczne

\(\displaystyle{ 2\lambda^2+5\lambda+3=0}\)

Wyznaczasz jedno pierwiastki i robisz kombinację liniową \(\displaystyle{ e^{\lambda_1}}\), \(\displaystyle{ e^{\lambda_2}}\) z dowolnymi stałymi.
W tym przypadku

\(\displaystyle{ x(t)=C_1e^{-t}+C_2e^{- \frac{3}{2}t }+\phi}\)

Przy czym \(\displaystyle{ \phi}\) jest szczególnym rozwiązaniem równia niejednorodnego. Przewiduje się te rozwiązania korzystając z "metody przewidywań". W tym konkretnym przypadku prawa strona jest liczbą więc przewidujemy \(\displaystyle{ \phi=A\in\RR}\). Po podstawianiu rozwiązania szczególnego do równania dostajesz że

\(\displaystyle{ 3\phi=2\ \Rightarrow \ \phi= \frac{2}{3}}\)

A więc rozwiązaniem jest

\(\displaystyle{ x(t)=C_1e^{-t}+C_2e^{- \frac{3}{2}t }+\frac{2}{3}}\)

Żeby zakończyć zadanie musisz policzyć stałe \(\displaystyle{ C_1}\) i \(\displaystyle{ C_2}\). Robisz to zwykłym układem równań wykorzystując informację o warunkach początkowych.
Zapisz

\(\displaystyle{ \begin{cases} x(0)=2\\ x'(0)=0 \end{cases} \Rightarrow C_1,\ C_2=...}\)

YupYup
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 4 gru 2016, o 13:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy

Rownanie rozniczkowe drugiego rzedu

Post autor: YupYup » 16 paź 2017, o 19:27

Dziękuje Ci bardzo

ODPOWIEDZ