rozwiązać równanie różniczkowe II rzędu
: 8 wrz 2012, o 12:28
Mógłby ktoś sprawdzić czy dobrze zrobiłem poniższe zadanie ??
Dane jest równanie \(\displaystyle{ y^{''} + 2y^{'} +y= e^{x}}\)
a) Fundamentalny układ rozwiązań odpowiadającego mu równania jednorodnego stanowi funkcja
\(\displaystyle{ y_{j}= C_{1}e^{-x}+C_{2}xe^{-x}}\)
b) Rozwiązaniem szczególnym tego równania jest funkcja \(\displaystyle{ y(x)=}\)
\(\displaystyle{ y= C_{1}e^{-x}+C_{2}xe^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y''+2y'+y=0 \\ r^{2}+2r+1=0 \\ \Delta=0 \\ r_{0}=-1 \\ y_{j}= C_{1}e^{-x}+C_{2}xe^{-x} \\ y_{s}=ae^{x} \\ y'_{s}=ae^{x} \\ y''_{s}=ae^{x} \\ ae^{x}+2ae^{x}+ae^{x}=e^{x} \\ a+2+a=0 \\ a=0 \\ y_{s}=0 \\ y=y_{s}+y_{j} \\ y=C_{1}e^{-x}+C_{2}xe^{-x}}\)
Dane jest równanie \(\displaystyle{ y^{''} + 2y^{'} +y= e^{x}}\)
a) Fundamentalny układ rozwiązań odpowiadającego mu równania jednorodnego stanowi funkcja
\(\displaystyle{ y_{j}= C_{1}e^{-x}+C_{2}xe^{-x}}\)
b) Rozwiązaniem szczególnym tego równania jest funkcja \(\displaystyle{ y(x)=}\)
\(\displaystyle{ y= C_{1}e^{-x}+C_{2}xe^{-x}}\)
\(\displaystyle{ y''+2y'+y=0 \\ r^{2}+2r+1=0 \\ \Delta=0 \\ r_{0}=-1 \\ y_{j}= C_{1}e^{-x}+C_{2}xe^{-x} \\ y_{s}=ae^{x} \\ y'_{s}=ae^{x} \\ y''_{s}=ae^{x} \\ ae^{x}+2ae^{x}+ae^{x}=e^{x} \\ a+2+a=0 \\ a=0 \\ y_{s}=0 \\ y=y_{s}+y_{j} \\ y=C_{1}e^{-x}+C_{2}xe^{-x}}\)