Matematyka.pl

robin5hood pisze:\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}=x\sqrt[3]{2}}\)
podnosimy obie strony do sześcianu
\(\displaystyle{ x+1+x-1+3\sqrt[3]{x^2-1}(\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1})=2x^3}\)
\(\displaystyle{ x+1+x-1+3\sqrt[3]{x^2-1}x\sqrt[3]{2}=2x^3}\)
zauważmy, że x=0 jest rozwiązaniem równania
zatem mamy
\(\displaystyle{ 2+3\sqrt[3]{2(x^2-1)}=2x^2}\)
\(\displaystyle{ 3\sqrt[3]{2(x^2-1)}=2(x^2-1)}\)
zauwazmy że x=1 i x=-1 są rozwiązaniami równania
zatem
\(\displaystyle{ 3*2^{-\frac{2}{3}}=(x^2-1)^{\frac{2}{3}}}\)
\(\displaystyle{ x^2=\frac{\sqrt[3]{9}}{2}+1}\)
zatem równanie ma rozwiązania x=0 lub x=1 lub x=-1 lub \(\displaystyle{ x=\sqrt{\frac{\sqrt[3]{9}}{2}+1}\) lub \(\displaystyle{ x=-\sqrt{\frac{\sqrt[3]{9}}{2}+1}\)