Matematyka.pl

szydra pisze:1. Sprawdzenie dla \(\displaystyle{ n=1}\):
\(\displaystyle{ m_1=3^3+40-67=0}\), co jest podzielne przez 64.

2. Załóżmy, że \(\displaystyle{ 64|m_{n}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\). Ponieważ:
\(\displaystyle{ m_{n+1} = 3^{2n+3}+40(n+1)-67 = 9 3^{2n+1}+360n-9 67 - 320n+40+8 67 = 9(3^{2n+1}+40n-67)-320n+9 64=9m_{n}-64(5n-9)}\)
więc także \(\displaystyle{ 64|m_{n+1}}\) co kończy dowód kroku indukcyjnego. A zatem na mocy twierdzenia o indukcji matematycznej \(\displaystyle{ 64|m_{n}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\).

Jeżeli \(\displaystyle{ n=2k+1}\) to:
\(\displaystyle{ m_{n}=3^{4k+3}+40(2k+1)-67=27 81^k +80k-27 \equiv 27 1^k - 27=0 \ (mod \ 5)}\)