żS-3. od: szydra, zadanie 2

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-3. od: szydra, zadanie 2

Post autor: Liga » 13 paź 2007, o 17:23

szydra pisze:1. Sprawdzenie dla \(\displaystyle{ n=1}\):
\(\displaystyle{ m_1=3^3+40-67=0}\), co jest podzielne przez 64.

2. Załóżmy, że \(\displaystyle{ 64|m_{n}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\). Ponieważ:
\(\displaystyle{ m_{n+1} = 3^{2n+3}+40(n+1)-67 = 9 3^{2n+1}+360n-9 67 - 320n+40+8 67 = 9(3^{2n+1}+40n-67)-320n+9 64=9m_{n}-64(5n-9)}\)
więc także \(\displaystyle{ 64|m_{n+1}}\) co kończy dowód kroku indukcyjnego. A zatem na mocy twierdzenia o indukcji matematycznej \(\displaystyle{ 64|m_{n}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\).

Jeżeli \(\displaystyle{ n=2k+1}\) to:
\(\displaystyle{ m_{n}=3^{4k+3}+40(2k+1)-67=27 81^k +80k-27 \equiv 27 1^k - 27=0 \ (mod \ 5)}\)
Ostatnio zmieniony 17 paź 2007, o 00:17 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6171
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2552 razy
Pomógł: 673 razy

żS-3. od: szydra, zadanie 2

Post autor: mol_ksiazkowy » 13 paź 2007, o 21:37

Jak dla mnie ok, tj bez zastzrezen, czyli 5p

ODPOWIEDZ