Matematyka.pl

*Kasia pisze:Chcemy sporządzić lejek w kształcie stożka o tworzącej równej \(\displaystyle{ 2\mbox{dm}.}\) Jaka powinna być jego wysokość, aby objętość była największa?

Rozwiązanie:
Dane:
\(\displaystyle{ l=20[cm]}\) - tworząca stożka
Szukane:
\(\displaystyle{ V=?}\) - objętość stożka

Przyjmijmy:
\(\displaystyle{ r}\) - promień podstawy stożka
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość stożka

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot H}\)
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkata prostokątnego utworzonego przez wysokość, tworzącą i promień podstawy stożka:
\(\displaystyle{ H^2+r^2=l^2=400[cm^2]}\). Z tego wynika, że \(\displaystyle{ r^2=400-H^2}\)
Podstawiamy to do wzoru na objętość:
\(\displaystyle{ V=\frac{\pi}{3}\cdot H\cdot r^2=\frac{\pi}{3}\cdot H\cdot (400-H^2)}\)
Aby objętość stożka była możliwie największa, pochodna funkcji \(\displaystyle{ f(H)=\frac{\pi}{3}\cdot H\cdot (400-H^2)}\) musi wynosić \(\displaystyle{ 0}\). Czyli:
\(\displaystyle{ f'(H)=0\\
(\frac{\pi}{3}\cdot H\cdot (400-H^2))'=0\\
\frac{\pi}{3}\cdot (H\cdot (400-H^2))'=0\qquad ||:\frac{\pi}{3}\\
(H\cdot (400-H^2))'=0\\
H\cdot (400-H^2)'+(H)'\cdot (400-H^2)=0\\
H\cdot ((400)'-(H^2)')+1\cdot (400-H^2)=0\\
H\cdot (0-2H)+(400-H^2)=0\\
400-3H^2=0\\
3H^2=400\\ \\
H=\sqrt{\frac{400}{3}}\\ \\
H=\frac{20\cdot {3}}{3}[cm]}\)

Odp. Aby objętość była możliwie największa, wysokość powinna wynosic: \(\displaystyle{ H=\frac{20\cdot \sqrt{3}}{3}[cm]}\).