żS-3, od: *Kasia, zadanie 3

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-3, od: *Kasia, zadanie 3

Post autor: Liga » 13 paź 2007, o 15:16

*Kasia pisze:Chcemy sporządzić lejek w kształcie stożka o tworzącej równej \(\displaystyle{ 2\mbox{dm}.}\) Jaka powinna być jego wysokość, aby objętość była największa?

Rozwiązanie:
Dane:
\(\displaystyle{ l=20[cm]}\) - tworząca stożka
Szukane:
\(\displaystyle{ V=?}\) - objętość stożka

Przyjmijmy:
\(\displaystyle{ r}\) - promień podstawy stożka
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość stożka

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot H}\)
Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkata prostokątnego utworzonego przez wysokość, tworzącą i promień podstawy stożka:
\(\displaystyle{ H^2+r^2=l^2=400[cm^2]}\). Z tego wynika, że \(\displaystyle{ r^2=400-H^2}\)
Podstawiamy to do wzoru na objętość:
\(\displaystyle{ V=\frac{\pi}{3}\cdot H\cdot r^2=\frac{\pi}{3}\cdot H\cdot (400-H^2)}\)
Aby objętość stożka była możliwie największa, pochodna funkcji \(\displaystyle{ f(H)=\frac{\pi}{3}\cdot H\cdot (400-H^2)}\) musi wynosić \(\displaystyle{ 0}\). Czyli:
\(\displaystyle{ f'(H)=0\\
(\frac{\pi}{3}\cdot H\cdot (400-H^2))'=0\\
\frac{\pi}{3}\cdot (H\cdot (400-H^2))'=0\qquad ||:\frac{\pi}{3}\\
(H\cdot (400-H^2))'=0\\
H\cdot (400-H^2)'+(H)'\cdot (400-H^2)=0\\
H\cdot ((400)'-(H^2)')+1\cdot (400-H^2)=0\\
H\cdot (0-2H)+(400-H^2)=0\\
400-3H^2=0\\
3H^2=400\\ \\
H=\sqrt{\frac{400}{3}}\\ \\
H=\frac{20\cdot {3}}{3}[cm]}\)


Odp. Aby objętość była możliwie największa, wysokość powinna wynosic: \(\displaystyle{ H=\frac{20\cdot \sqrt{3}}{3}[cm]}\).
Ostatnio zmieniony 17 paź 2007, o 00:15 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6915
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2617 razy
Pomógł: 687 razy

żS-3, od: *Kasia, zadanie 3

Post autor: mol_ksiazkowy » 13 paź 2007, o 16:11

oh , okey ale znów ten sam ból, jaka jest dziedzina ...?

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-3, od: *Kasia, zadanie 3

Post autor: scyth » 13 paź 2007, o 17:12

no więc ta sama ocena co luka52, czyli 3/4

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

żS-3, od: *Kasia, zadanie 3

Post autor: Tristan » 13 paź 2007, o 17:14

Z tych samych powodów co wyżej, 3/4.

ODPOWIEDZ