Matematyka.pl

luka52 pisze:Niech \(\displaystyle{ l}\) oznacza tworzącą stożka, \(\displaystyle{ h}\) jego wysokość, a \(\displaystyle{ r}\) promień podstawy.
Powyższe wielkości są ze sobą powiązane wzorem:
\(\displaystyle{ l^2 = r^2 + h^2 \quad (*)}\)
Objętość lejka wynosi:
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{\pi}{3} (l^2 - h^2) h}\)
gdzie \(\displaystyle{ r^2}\) wyliczyliśmy z równania (*).
Obierając teraz funkcję V argumentu h - zależność objętości od wysokości leja, szukamy dla jakiego argumentu funkcja V osiąga ekstremum (a konkretniej maksimum).
Obliczamy pochodną V':
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}V}{\mbox{d}h} = \frac{\pi}{3} \left( (l^2 - h^2) h \right)' = \frac{\pi}{3} \left( l^2 - 3h^2 \right)}\)
Wyznaczamy punkty stajonarne:
\(\displaystyle{ V' = 0 \iff h = \pm \frac{l \sqrt{3}}{3}}\)
Ponieważ sens ma jedynie takie h, że h>0 i w punkcie \(\displaystyle{ h = \frac{l \sqrt{3}}{3}}\) pochodna zmienia znak z + na -, znajdujemy że szukana wysokość stożka winna wynosić:
\(\displaystyle{ h = \frac{l \sqrt{3}}{3} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \approx 1.15 \ (\mbox{dm})}\)