Matematyka.pl

robin5hood pisze:a)
określamy dziedzinę nierówności
\(\displaystyle{ 4^{x^2+4x}+2^{x^2+4x-1}-\frac{1}{2}>0}\)

\(\displaystyle{ (2^{x^2+4x})^2+\frac{1}{2}2^{x^2+4x}-\frac{1}{2}>0}\)
podstawiamy \(\displaystyle{ t=2^{x^2+4x}}\)
\(\displaystyle{ t^2+\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}>0}\)
zatem t nalezy do przedziału \(\displaystyle{ (-\infty,-1)\cup(\frac{1}{2},+\infty)}\)
Teraz należy rozwiązać nierówności
\(\displaystyle{ 2^{x^2+4x}2^{-1}}\)
ostatecznie dziedzina nierówności to
x należące do przedziału \(\displaystyle{ (-\infty,-2-\sqrt{3})\cup(-2+\sqrt{3},+\infty)}\)
wracamy do nierówności
ponieważ podstawa logarytmu jest mniejsza niż 1 mamy

\(\displaystyle{ 4^{x^2+4x}+2^{x^2+4x-1}-\frac{3}{2}0}\)
zatem t nalezy do przedziału \(\displaystyle{ (-\frac{3}{2},1)}\)

Teraz należy rozwiązać nierówności
\(\displaystyle{ 2^{x^2+4x}>-\frac{3}{2}}\) i \(\displaystyle{ 2^{x^2+4x}0, \(\displaystyle{ x\neq1}\)
\(\displaystyle{ log_{x}4+log_{2}x^2=5}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{log_{4}x}+2log_{2}x=5}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{log_{2}x}+2log_{2}x=5}\)


\(\displaystyle{ \frac{2}{log_{2}x}+2log_{2}x=5}\)
podstawiamy \(\displaystyle{ t=log_{2}x}\)
otrzymujemy równanie
\(\displaystyle{ 2t^2-5t+2=0}\)
jego rozwiązania to 2 i 0,5
teraz rozwiązujemy równania
\(\displaystyle{ 2=log_{2}x}\),


\(\displaystyle{ 0,5=log_{2}x}\)

zatem rozwiązania równania to \(\displaystyle{ x_1=4}\) lub \(\displaystyle{ x_2=\sqrt{2}}\)}\)

podstawiamy
\(\displaystyle{ t=2^{x^2+4x}}\)
\(\displaystyle{ t^2+\frac{1}{2}t-\frac{3}{2}>0}\)
zatem t nalezy do przedziału \(\displaystyle{ (-\frac{3}{2},1)}\)