Tym razem to będzie, mam nadzieję, naprawdę proste
Korzystamy z kryterium d'Alemberta i liczymy granicę wyrażenia:
\(\displaystyle{ \frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|} = \frac{|\frac{(-1)^{n}}{2n + 1}x^{2n + 1}|}{|\frac{(-1)^{n - 1}}{2n - 1}x^{2n - 1}|} = \frac{2n - 1}{2n + 1}x^{2}\\
\lim_{n\to \infty}\frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|} = x^{2}}\)
Stąd wnioskujemy, że szereg jest zbieżny (bezwzględnie) gdy:
\(\displaystyle{ x^{2} }\)
i rozbieżny (bezwzględnie) gdy:
\(\displaystyle{ x^{2} > 1}\)
Zatem promień zbieżności wynosi:
\(\displaystyle{ R = 1}\)
Środkiem przedziału zbieżności jest
\(\displaystyle{ 0}\), zatem pozostaje zbadać zbieżność na jego końcach:
W punkcie
\(\displaystyle{ x = -1}\) szereg ma wyraz ogólny
\(\displaystyle{ \frac{1}{2n - 1}}\), a ponieważ dla każdego
\(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\):
\(\displaystyle{ \frac{1}{2n - 1}\geqslant \frac{1}{n}}\)
i szereg harmoniczny
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\) jest rozbieżny to w myśl kryterium porównawczego również badany szereg w punkcie
\(\displaystyle{ x = 1}\) jest rozbieżny.
W punkcie
\(\displaystyle{ x = 1}\) szereg ma wyraz ogólny
\(\displaystyle{ \frac{(-1)^{n - 1}}{2n - 1}}\), więc jego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne, ponadto ich wartości bezwzględne monotonicznie maleją, bo dla każdego
\(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\):
\(\displaystyle{ \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} }\)
a ponadto jest jeszcze:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{2n - 1} = 0}\)
czyli spełnione są wszystkie założenia kryterium Leibniza i szereg jest w punkcie
\(\displaystyle{ x = 1}\) zbieżny (warunkowo).
Ostatecznie przedziałem zbieżności jest przedział
\(\displaystyle{ (-1, 1]}\)