Promień i przedział zbieżności szeregu potęgowego

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
paolcia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 24 sie 2007, o 19:09
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok

Promień i przedział zbieżności szeregu potęgowego

Post autor: paolcia » 28 sie 2007, o 16:07

Znaleźć promień i przedział zbieżności dla szeregu potęgowego \(\displaystyle{ \sum_{n}\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1} x^{2n-1}}\) Tylko poproszę o bardzo proste rozwiązanie:)

Między znaczniki:

Kod: Zaznacz cały

[tex] [/tex]
[/i][/color]
umieszczamy całe wyrażenie.
max
Ostatnio zmieniony 28 sie 2007, o 19:05 przez paolcia, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Promień i przedział zbieżności szeregu potęgowego

Post autor: max » 28 sie 2007, o 19:20

Tym razem to będzie, mam nadzieję, naprawdę proste ;)

Korzystamy z kryterium d'Alemberta i liczymy granicę wyrażenia:
\(\displaystyle{ \frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|} = \frac{|\frac{(-1)^{n}}{2n + 1}x^{2n + 1}|}{|\frac{(-1)^{n - 1}}{2n - 1}x^{2n - 1}|} = \frac{2n - 1}{2n + 1}x^{2}\\
\lim_{n\to \infty}\frac{|a_{n + 1}|}{|a_{n}|} = x^{2}}\)

Stąd wnioskujemy, że szereg jest zbieżny (bezwzględnie) gdy:
\(\displaystyle{ x^{2} }\)
i rozbieżny (bezwzględnie) gdy:
\(\displaystyle{ x^{2} > 1}\)
Zatem promień zbieżności wynosi:
\(\displaystyle{ R = 1}\)
Środkiem przedziału zbieżności jest \(\displaystyle{ 0}\), zatem pozostaje zbadać zbieżność na jego końcach:
W punkcie \(\displaystyle{ x = -1}\) szereg ma wyraz ogólny \(\displaystyle{ \frac{1}{2n - 1}}\), a ponieważ dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\):
\(\displaystyle{ \frac{1}{2n - 1}\geqslant \frac{1}{n}}\)
i szereg harmoniczny \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}\) jest rozbieżny to w myśl kryterium porównawczego również badany szereg w punkcie \(\displaystyle{ x = 1}\) jest rozbieżny.
W punkcie \(\displaystyle{ x = 1}\) szereg ma wyraz ogólny \(\displaystyle{ \frac{(-1)^{n - 1}}{2n - 1}}\), więc jego wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne, ponadto ich wartości bezwzględne monotonicznie maleją, bo dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\):
\(\displaystyle{ \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1} }\)
a ponadto jest jeszcze:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{1}{2n - 1} = 0}\)
czyli spełnione są wszystkie założenia kryterium Leibniza i szereg jest w punkcie \(\displaystyle{ x = 1}\) zbieżny (warunkowo).
Ostatecznie przedziałem zbieżności jest przedział \(\displaystyle{ (-1, 1]}\)

ODPOWIEDZ