Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ T}\) będzie niepustym zbiorem. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ H_{t} < G}\) dla każdego \(\displaystyle{ t \in T}\), to \(\displaystyle{ \bigcap_{t \in T}}\) \(\displaystyle{ H_{t} < G}\) (udowodnić, że iloczyn podgrup jest podgrupą \(\displaystyle{ G}\)).

okk.. element neutralny dziedziczony z grupy.. dalej, element odwrotny: jeśli \(\displaystyle{ a\in\bigcap_{t \in T}H_{t}}\) to \(\displaystyle{ \forall t\in T \ \ \ a\in H_{t}}\).. dalej jeśli \(\displaystyle{ a\in H_{t_{i}}\Rightarrow a^{-1}\in H_{t_{i}}}\) stąd wnosimy, że \(\displaystyle{ \forall t\in T\ \ \ a^{-1}\in H_{t}}\) czyli \(\displaystyle{ a^{-1}\in \bigcap_{t \in T}H_{t}}\)..
działanie..
weźmy dowolne \(\displaystyle{ a,b\in\bigcap_{t\in T}H_{t}}\) to \(\displaystyle{ \forall t\in T \ \ \ a,b\in H_{t}}\). dalej jeśli \(\displaystyle{ a,b\in H_{t_{i}}\Rightarrow a+b\in H_{t_{i}}}\) stąd wnosimy, że \(\displaystyle{ \forall t\in T\ \ \ a+b\in H_{t}}\) czyli \(\displaystyle{ a+b\in \bigcap_{t\in T}H_{t}}\).
oczywiste jest, że \(\displaystyle{ \bigcap_{t \in T}H_{t}\subset G}\) zatem ostatecznie \(\displaystyle{ \bigcap_{t\in T}H_{t}}\) jest podgrupą w \(\displaystyle{ G}\)