Udowodnić, że iloczyn podgrup jest podgrupą

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
radkow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 7 sty 2007, o 00:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Drzewica
Podziękował: 8 razy

Udowodnić, że iloczyn podgrup jest podgrupą

Post autor: radkow » 24 paź 2007, o 19:53

Niech \(\displaystyle{ T}\) będzie niepustym zbiorem. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ H_{t} < G}\) dla każdego \(\displaystyle{ t T}\), to \(\displaystyle{ \bigcap_{t T}}\) \(\displaystyle{ H_{t} < G}\) (udowodnić, że iloczyn podgrup jest podgrupą \(\displaystyle{ G}\)).
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

Udowodnić, że iloczyn podgrup jest podgrupą

Post autor: mostostalek » 24 paź 2007, o 22:01

okk.. element neutralny dziedziczony z grupy.. dalej, element odwrotny: jeśli \(\displaystyle{ a\in\bigcap_{t T}H_{t}}\) to \(\displaystyle{ \forall t\in T \ \ \ a\in H_{t}}\).. dalej jeśli \(\displaystyle{ a\in H_{t_{i}}\Rightarrow a^{-1}\in H_{t_{i}}}\) stąd wnosimy, że \(\displaystyle{ \forall t\inT\ \ \ a^{-1}\in H_{t}}\) czyli \(\displaystyle{ a^{-1}\in \bigcap_{t T}H_{t}}\)..
działanie..
weźmy dowolne \(\displaystyle{ a,b\in\bigcap_{t T}H_{t}}\) to \(\displaystyle{ \forall t\in T \ \ \ a,b\in H_{t}}\).. dalej jeśli \(\displaystyle{ a,b\in H_{t_{i}}\Rightarrow a+b\in H_{t_{i}}}\) stąd wnosimy, że \(\displaystyle{ \forall t\inT\ \ \ a+b\in H_{t}}\) czyli \(\displaystyle{ a+b\in \bigcap_{t T}H_{t}}\)..
oczywiste jest, że \(\displaystyle{ \bigcap_{t T}H_{t}\subset G}\) zatem ostatecznie \(\displaystyle{ \bigcap_{t T}H_{t}}\) jest podgrupą w \(\displaystyle{ G}\)

ODPOWIEDZ