Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie ciałem. Znaleźć centrumy grupy \(\displaystyle{ GL(n,K)}\)

Czymże jest centrum? Może ktoś przytoczyć definicję?

Wujek Google się kłania:

JK

Aha no dobra. No to macierz jednostkowa na pewno będzie należała do centrum. Zgadza się? Coś jeszcze?

Macierz identyczności pomnożona przez skalar.

Dlaczego przez skalar? Przecież po pomnożeniu przez skalar i macierz jednostkową nie dostaniemy macierzy oryginalnej.

max123321 pisze:Przecież po pomnożeniu przez skalar i macierz jednostkową nie dostaniemy macierzy oryginalnej.

Chyba nie zrozumiałeś definicji centrum grupy. Istotne jest to, że dowolne dwie macierze postaci \(\displaystyle{ \lambda I}\) komutują.

JK

centrum grupy – w teorii grup podzbiór danej grupy \(\displaystyle{ {\displaystyle G}}\) składający się z wszystkich elementów \(\displaystyle{ {\displaystyle x\in G}}\) takich, że \(\displaystyle{ {\displaystyle xg=gx}}\) dla każdego \(\displaystyle{ {\displaystyle g\in G.}}\)

Taka widzę definicję.

No i co? W czym Ci przeszkadzają macierze postaci \(\displaystyle{ \lambda I}\) ?

JK

A nie no chyba masz rację, bo mnie się zdawało, że ta \(\displaystyle{ \lambda}\) zmienia tą macierz \(\displaystyle{ g}\), ale to nieistotne wystarczy jedynie by było przemienne.

Czy należy to jeszcze jakoś udowodnić, że macierze tej postaci są w centrum i tylko one?

należy

Nie wiem jak to pokazać.

\(\displaystyle{ \lambda Ig=g\lambda I}\)
Tak po prostu?

Nie n oto jest równość, którą chcesz pokazać. No ale wynika ona wprost z własności mnożenai macierzy. Bardziej interesująca jest druga strona : ... ver_center

Czyli co \(\displaystyle{ \lambda Ig=I\lambda g=Ig\lambda=gI\lambda=g\lambda I}\), tak? Ale z jakich własności mnożenia macierzy się tu korzysta?

z tego, że macierz identycznościowa jest przemienna ze wszystkimi macierzami oraz że mnożenie przez skalar jest przemienne z macierzami

aha okej. I coś jeszcze trzeba robić w tym zadaniu?