Centrum grupy

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2615
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 759 razy

Centrum grupy

Post autor: max123321 » 2 lis 2017, o 18:37

Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie ciałem. Znaleźć centrumy grupy \(\displaystyle{ GL(n,K)}\)

Czymże jest centrum? Może ktoś przytoczyć definicję?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27283
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4591 razy

Re: Centrum grupy

Post autor: Jan Kraszewski » 2 lis 2017, o 18:57


max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2615
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 759 razy

Re: Centrum grupy

Post autor: max123321 » 2 lis 2017, o 20:33

Aha no dobra. No to macierz jednostkowa na pewno będzie należała do centrum. Zgadza się? Coś jeszcze?

Pakro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 137
Rejestracja: 7 maja 2017, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 36 razy

Re: Centrum grupy

Post autor: Pakro » 2 lis 2017, o 21:10

Macierz identyczności pomnożona przez skalar.

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2615
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 759 razy

Re: Centrum grupy

Post autor: max123321 » 7 lis 2017, o 16:44

Dlaczego przez skalar? Przecież po pomnożeniu przez skalar i macierz jednostkową nie dostaniemy macierzy oryginalnej.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27283
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4591 razy

Re: Centrum grupy

Post autor: Jan Kraszewski » 7 lis 2017, o 17:16

max123321 pisze:Przecież po pomnożeniu przez skalar i macierz jednostkową nie dostaniemy macierzy oryginalnej.


Chyba nie zrozumiałeś definicji centrum grupy. Istotne jest to, że dowolne dwie macierze postaci \(\displaystyle{ \lambda I}\) komutują.

JK

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2615
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 759 razy

Re: Centrum grupy

Post autor: max123321 » 7 lis 2017, o 17:24

centrum grupy – w teorii grup podzbiór danej grupy \(\displaystyle{ {\displaystyle G}}\) składający się z wszystkich elementów \(\displaystyle{ {\displaystyle x\in G}}\) takich, że \(\displaystyle{ {\displaystyle xg=gx}}\) dla każdego \(\displaystyle{ {\displaystyle g\in G.}}\)

Taka widzę definicję.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27283
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4591 razy

Re: Centrum grupy

Post autor: Jan Kraszewski » 7 lis 2017, o 17:32

No i co? W czym Ci przeszkadzają macierze postaci \(\displaystyle{ \lambda I}\) ?

JK

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2615
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 759 razy

Re: Centrum grupy

Post autor: max123321 » 7 lis 2017, o 18:01

A nie no chyba masz rację, bo mnie się zdawało, że ta \(\displaystyle{ \lambda}\) zmienia tą macierz \(\displaystyle{ g}\), ale to nieistotne wystarczy jedynie by było przemienne.

Czy należy to jeszcze jakoś udowodnić, że macierze tej postaci są w centrum i tylko one?
Ostatnio zmieniony 7 lis 2017, o 18:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: nieistotne.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Centrum grupy

Post autor: leg14 » 7 lis 2017, o 19:03

należy

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2615
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 759 razy

Re: Centrum grupy

Post autor: max123321 » 8 lis 2017, o 22:29

Nie wiem jak to pokazać.

\(\displaystyle{ \lambda Ig=g\lambda I}\)
Tak po prostu?

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Centrum grupy

Post autor: leg14 » 8 lis 2017, o 22:33

Nie n oto jest równość, którą chcesz pokazać. No ale wynika ona wprost z własności mnożenai macierzy. Bardziej interesująca jest druga strona : https://groupprops.subwiki.org/wiki/Cen ... ver_center

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2615
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 759 razy

Re: Centrum grupy

Post autor: max123321 » 8 lis 2017, o 23:29

Czyli co \(\displaystyle{ \lambda Ig=I\lambda g=Ig\lambda=gI\lambda=g\lambda I}\), tak? Ale z jakich własności mnożenia macierzy się tu korzysta?

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Centrum grupy

Post autor: leg14 » 8 lis 2017, o 23:30

z tego, że macierz identycznościowa jest przemienna ze wszystkimi macierzami oraz że mnożenie przez skalar jest przemienne z macierzami

max123321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2615
Rejestracja: 26 maja 2016, o 01:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 759 razy

Re: Centrum grupy

Post autor: max123321 » 8 lis 2017, o 23:51

aha okej. I coś jeszcze trzeba robić w tym zadaniu?

ODPOWIEDZ