Matematyka.pl

Cześć!
Mam pewno zadanie:

Wykaż, że zbiór \(\displaystyle{ \left(\mathbb {Z} /5\right)^{2}}\) z działaniami:

\(\displaystyle{ (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)\\
(a,b)(c,d)=(ac - bd,ad + bc)}\)

jest pierścieniem, ale nie jest pierścieniem całkowitym.

Wykazałem już, że jest pierścieniem.
Nie potrafię wykazać, że NIE JEST pierścieniem całkowitym, nie wiem w ogóle w jaki sposób się tego dowodzi, gdyż jest zbiór do kwadratu . ( \(\displaystyle{ \left(\mathbb {Z} /5\right)^{2}}\) )

Proszę o pomoc.

Wez takie elementy:
\(\displaystyle{ (1,2),(2,1)}\)

Wystarczy pokazać że są dzielniki zera np masz:

\(\displaystyle{ (x,3x) \cdot (1,2)=(0,0)}\)

Dziękuję, ale czy moglibyście mi pokazać caly dowód jak to formalnie zapisać?

Nie potrafię, bo nigdy nie robiłem takiego dowodu.

Chcesz zaprzeczyc temu, że pierścień jest całkowity. Pierścień jest całkowity \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) nie ma nietrywialnych dzielników zera. Zatem zaprzeczeniem całkowitości będzie wskazanie nietrywailnego dzielnika zera - podaliśmy Ci z Arkiem przykłady.

Przepraszam, ale dalej nie rozumiem.

Proszę wytłumaczcie mi przeprowadzając cały dowód.
Nie potrafie wskazać tych dzielników zera, ponieważ nie wiem jak to sie robi, gdy są pary liczb \(\displaystyle{ (a,b)}\)...

Wiem, że trzeba wykazać chyba, że jeśli \(\displaystyle{ (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad-bc)=(0,0)}\)
to wtedy... tu nie wiem.

Proszę rozpiszcie mi to jakoś i wskażcie jak się znajduje te nietrywialne dzielniki zera, gdy zbiór jest podniesiony do kwadratu. Naprawdę nie rozumiem.

Julian1998 pisze:Nie potrafie wskazać tych dzielników zera, ponieważ nie wiem jak to sie robi, gdy są pary liczb \(\displaystyle{ (a,b)}\)...

leg14 pisze:Wez takie elementy:
\(\displaystyle{ (1,2),(2,1)}\)

Julian1998 pisze:Wiem, że trzeba wykazać chyba, że jeśli \(\displaystyle{ (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad-bc)=(0,0)}\)

No i prawie już masz dowód.

JK

Przepraszam, tam ma być \(\displaystyle{ \left(ad+bc \right)}\) zamiast \(\displaystyle{ \left( ad-bc\right)}\)

Noi gdy podstawię \(\displaystyle{ \left( 1,2\right)\left( 2,1\right)}\) to wychodzi mi \(\displaystyle{ \left( 0,5\right)}\), a nie \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\).

Nie rozumiem dalej.

Julian1998 pisze:Noi gdy podstawię \(\displaystyle{ \left( 1,2\right)\left( 2,1\right)}\) to wychodzi mi \(\displaystyle{ \left( 0,5\right)}\), a nie \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\).

Zauważ, że w \(\displaystyle{ \ZZ_5}\) masz \(\displaystyle{ 1\cdot 1+2\cdot 2=0}\).

JK