Wykaż, że zbiór nie jest pierścieniem całkowitym

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Julian1998
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

Wykaż, że zbiór nie jest pierścieniem całkowitym

Post autor: Julian1998 » 15 paź 2017, o 15:56

Cześć!
Mam pewno zadanie:

Wykaż, że zbiór \(\displaystyle{ \left(\mathbb {Z} /5\right)^{2}}\) z działaniami:

\(\displaystyle{ (a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)\\ (a,b)(c,d)=(ac - bd,ad + bc)}\)

jest pierścieniem, ale nie jest pierścieniem całkowitym.

Wykazałem już, że jest pierścieniem.
Nie potrafię wykazać, że NIE JEST pierścieniem całkowitym, nie wiem w ogóle w jaki sposób się tego dowodzi, gdyż jest zbiór do kwadratu . ( \(\displaystyle{ \left(\mathbb {Z} /5\right)^{2}}\) )

Proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 15 paź 2017, o 22:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie zostawiaj pustych linii w tagach [latex] [/latex]. Nowa linia to \\. Temat umieszczony w złym dziale.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Wykaż, że zbiór nie jest pierścieniem całkowitym

Post autor: leg14 » 15 paź 2017, o 18:33

Wez takie elementy:
\(\displaystyle{ (1,2),(2,1)}\)

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4092
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 96 razy
Pomógł: 410 razy

Wykaż, że zbiór nie jest pierścieniem całkowitym

Post autor: arek1357 » 15 paź 2017, o 18:43

Wystarczy pokazać że są dzielniki zera np masz:

\(\displaystyle{ (x,3x) \cdot (1,2)=(0,0)}\)

Julian1998
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

Wykaż, że zbiór nie jest pierścieniem całkowitym

Post autor: Julian1998 » 15 paź 2017, o 21:57

Dziękuję, ale czy moglibyście mi pokazać caly dowód jak to formalnie zapisać?

Nie potrafię, bo nigdy nie robiłem takiego dowodu.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Wykaż, że zbiór nie jest pierścieniem całkowitym

Post autor: leg14 » 15 paź 2017, o 22:06

Chcesz zaprzeczyc temu, że pierścień jest całkowity. Pierścień jest całkowity \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) nie ma nietrywialnych dzielników zera. Zatem zaprzeczeniem całkowitości będzie wskazanie nietrywailnego dzielnika zera - podaliśmy Ci z Arkiem przykłady.

Julian1998
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

Wykaż, że zbiór nie jest pierścieniem całkowitym

Post autor: Julian1998 » 15 paź 2017, o 23:13

Przepraszam, ale dalej nie rozumiem.

Proszę wytłumaczcie mi przeprowadzając cały dowód.
Nie potrafie wskazać tych dzielników zera, ponieważ nie wiem jak to sie robi, gdy są pary liczb \(\displaystyle{ (a,b)}\)...

Wiem, że trzeba wykazać chyba, że jeśli \(\displaystyle{ (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad-bc)=(0,0)}\)
to wtedy... tu nie wiem.

Proszę rozpiszcie mi to jakoś i wskażcie jak się znajduje te nietrywialne dzielniki zera, gdy zbiór jest podniesiony do kwadratu. Naprawdę nie rozumiem.
Ostatnio zmieniony 15 paź 2017, o 23:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27298
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Wykaż, że zbiór nie jest pierścieniem całkowitym

Post autor: Jan Kraszewski » 15 paź 2017, o 23:40

Julian1998 pisze:Nie potrafie wskazać tych dzielników zera, ponieważ nie wiem jak to sie robi, gdy są pary liczb \(\displaystyle{ (a,b)}\)...
leg14 pisze:Wez takie elementy:
\(\displaystyle{ (1,2),(2,1)}\)
Julian1998 pisze:Wiem, że trzeba wykazać chyba, że jeśli \(\displaystyle{ (a,b)(c,d)=(ac-bd,ad-bc)=(0,0)}\)
No i prawie już masz dowód.

JK

Julian1998
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

Re: Wykaż, że zbiór nie jest pierścieniem całkowitym

Post autor: Julian1998 » 15 paź 2017, o 23:55

Przepraszam, tam ma być \(\displaystyle{ \left(ad+bc \right)}\) zamiast \(\displaystyle{ \left( ad-bc\right)}\)

Noi gdy podstawię \(\displaystyle{ \left( 1,2\right)\left( 2,1\right)}\) to wychodzi mi \(\displaystyle{ \left( 0,5\right)}\), a nie \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\).

Nie rozumiem dalej.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27298
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Re: Wykaż, że zbiór nie jest pierścieniem całkowitym

Post autor: Jan Kraszewski » 16 paź 2017, o 01:07

Julian1998 pisze:Noi gdy podstawię \(\displaystyle{ \left( 1,2\right)\left( 2,1\right)}\) to wychodzi mi \(\displaystyle{ \left( 0,5\right)}\), a nie \(\displaystyle{ \left( 0,0\right)}\).
Zauważ, że w \(\displaystyle{ \ZZ_5}\) masz \(\displaystyle{ 1\cdot 1+2\cdot 2=0}\).

JK

ODPOWIEDZ