Matematyka.pl

Na początek treść definicji i stwierdzenia:
Definicja: Niech \(\displaystyle{ u \colon M \to N}\) będzie homomorfizmem \(\displaystyle{ A}\)-modułów. Podnosi się on do homomorfizmu \(\displaystyle{ S^{-1}A}\)-modułów \(\displaystyle{ S^{-1}u \colon S^{-1}M \to S^{-1}N}\) w taki sposób, że \(\displaystyle{ S^{-1}u}\) odwzorowuje \(\displaystyle{ \frac{m}{s}}\) na \(\displaystyle{ \frac{u(m)}{s}}\). Zachodzi przy tym \(\displaystyle{ S^{-1}(v \circ u)=(S^{-1}v) \circ (S^{-1}u)}\).
Stwierdzenie: Operacja \(\displaystyle{ S^{-1}}\) jest dokładna, tzn. jeśli \(\displaystyle{ M' \stackrel{f}{\rightarrow} M \stackrel{g}{\rightarrow} M''}\) jest dokładny w \(\displaystyle{ M}\), to \(\displaystyle{ S^{-1}M' \stackrel{S^{-1}f}{\rightarrow} S^{-1}M \stackrel{S^{-1}g}{\rightarrow} S^{-1}M''}\) jest dokładny w \(\displaystyle{ S^{-1}M}\).
Teraz część zasadnicza: dowód zaczyna się od sformułowania "Mamy \(\displaystyle{ g \circ f=0}\). [...]". Dlaczego \(\displaystyle{ g \circ f=0}\)?
Źródło: M. F. Atiyah, I.G. Macdonald, "Wprowadzenie do algebry komutatywnej"

Z definicji ciągu dokładnego dla tego pierwszego ciągu.

Definicja: Ciąg \(\displaystyle{ A}\)-modułów i \(\displaystyle{ A}\)-homomorfizmów \(\displaystyle{ \ldots \to M_{i-1} \stackrel{f_i}{\to} M_i \stackrel{f_{i+1}}{\to} M_{i+1} \ldots}\) nazywamy dokładnym w \(\displaystyle{ M_i}\) jeśli \(\displaystyle{ Im(f_i)=Ker(f_{i+1})}\). Ciąg nazywamy dokładnym, jeśli jest dokładny w każdym \(\displaystyle{ M_i}\).
Nie widzę w definicji nic o tym, że \(\displaystyle{ f_{i+1} \circ f_i=0}\). Możesz to wytłumaczyć jeszcze jaśniej?

Skoro \(\displaystyle{ Im(f_{i}) = Ker(f_{i+1})}\), to przecież dla dowolnego \(\displaystyle{ a}\) zachodzi \(\displaystyle{ f_{i}(a) \in Im(f_{i}) = Ker(f_{i+1})}\), a co za tym idzie: \(\displaystyle{ f_{i+1}(f_{i}(a)) = 0}\).

Dokładnie.
Nawiasem mówiąc - warunek \(\displaystyle{ f_{i+1}\circ f_{i} = 0}\) jest słabszy od dokładności, bo oznacza tylko inkluzję \(\displaystyle{ \text{im}\, f_{i}\subset \text{ker}\, f_{i+1}}\). Zdaje się, że ciągi spełniające właśnie taki warunek (tzw. kompleksy łańcuchowe) pojawiają się na porządku dziennym w przeróżnych teoriach homologii.

max pisze:Zdaje się, że ciągi spełniające właśnie taki warunek (tzw. kompleksy łańcuchowe) pojawiają się na porządku dziennym w przeróżnych teoriach homologii.

To prawda -- np. w topologii algebraicznej spora część (jak nie całość) teorii homologii singularnej opiera się na badaniu ciągów dokładnych.