Strona 1 z 1
Wykaż, że nie istnieje granica
: 26 paź 2017, o 13:24
autor: Czarteg
Wykaż, że nie istnieje granica:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \pi^{-}} \sin \left( \frac {1} {x-\pi} \right)}\)
O ile z poprzednimi podpunktami zadania się uporałem, o tyle na ten nie mam pomysłu, proszę o pomoc.
Re: Wykaż, że nie istnieje granica
: 26 paź 2017, o 13:32
autor: Premislav
Z definicji Heinego wiemy, że gdyby ta granica jednostronna istniała i wynosiła \(\displaystyle{ g}\), to dla każdego ciągu \(\displaystyle{ \left( x_n \right) ,
\ x_n<\pi, \ \lim_{n \to \infty }x_n=\pi}\) mielibyśmy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sin \left( \frac {1} {x_n-\pi} \right) =g}\)
To teraz rozważmy takie dwa ciągi:
\(\displaystyle{ x_n=\pi-\frac{1}{\pi \cdot n}}\) oraz \(\displaystyle{ y_n=\pi- \frac{1}{\frac \pi 2+2\pi \cdot n}}\)
Sprawdź, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sin \left( \frac {1} {x_n-\pi} \right) \neq \lim_{n \to \infty } \sin \left( \frac {1} {y_n-\pi} \right)}\)
Wykaż, że nie istnieje granica
: 26 paź 2017, o 13:53
autor: Czarteg
Rozumiem, dzięki wielkie Kombinowałem z zapisaniem dwóch ciągów, ale jakoś kiepsko przy tym rozumowałem i nie mogłem do niczego sensownego dojść.