Wykaż, że nie istnieje granica

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Czarteg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 28 wrz 2017, o 12:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy

Wykaż, że nie istnieje granica

Post autor: Czarteg » 26 paź 2017, o 13:24

Wykaż, że nie istnieje granica:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \pi^{-}} \sin \left( \frac {1} {x-\pi} \right)}\)
O ile z poprzednimi podpunktami zadania się uporałem, o tyle na ten nie mam pomysłu, proszę o pomoc.
Ostatnio zmieniony 26 paź 2017, o 13:27 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15212
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Wykaż, że nie istnieje granica

Post autor: Premislav » 26 paź 2017, o 13:32

Z definicji Heinego wiemy, że gdyby ta granica jednostronna istniała i wynosiła \(\displaystyle{ g}\), to dla każdego ciągu \(\displaystyle{ \left( x_n \right) , \ x_n<\pi, \ \lim_{n \to \infty }x_n=\pi}\) mielibyśmy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sin \left( \frac {1} {x_n-\pi} \right) =g}\)
To teraz rozważmy takie dwa ciągi:
\(\displaystyle{ x_n=\pi-\frac{1}{\pi \cdot n}}\) oraz \(\displaystyle{ y_n=\pi- \frac{1}{\frac \pi 2+2\pi \cdot n}}\)
Sprawdź, że
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sin \left( \frac {1} {x_n-\pi} \right) \neq \lim_{n \to \infty } \sin \left( \frac {1} {y_n-\pi} \right)}\)
Ostatnio zmieniony 26 paź 2017, o 14:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Czarteg
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 56
Rejestracja: 28 wrz 2017, o 12:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 23 razy

Wykaż, że nie istnieje granica

Post autor: Czarteg » 26 paź 2017, o 13:53

Rozumiem, dzięki wielkie Kombinowałem z zapisaniem dwóch ciągów, ale jakoś kiepsko przy tym rozumowałem i nie mogłem do niczego sensownego dojść.

ODPOWIEDZ