Matematyka.pl

Obliczyć granice \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (1,1)} \frac{(x-1)(y-1)}{x+y-2}}\)

Funkcja nie posiada granicy w tym punkcie

Weź dwa przykłady różnych ciągów zbieżnych do \(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ 1)}\)
\(\displaystyle{ x_n=1+\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ y_n= 1+\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow }f(x_n,y_n)=\lim_{n\rightarrow }\frac{(1+\frac{1}{n}-1)(1+\frac{1}{n}-1)}{1+\frac{1}{n}+1+\frac{1}{n}-2}=\lim_{n\rightarrow }\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n}}=\lim_{n\rightarrow }\frac{1}{2n}=0}\)

\(\displaystyle{ 2)}\)
\(\displaystyle{ x_n=1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}}\)
\(\displaystyle{ y_n= 1+\frac{1}{n}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow }f(x_n,y_n)=\lim_{n\rightarrow }\frac{(1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}-1)(1+\frac{1}{n}-1)}{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}+1+\frac{1}{n}-2}=\lim_{n\rightarrow }
\frac{(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3})\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^3}}=\lim_{n\rightarrow }\frac{-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^3}}=\lim_{n\rightarrow } -n+\frac{1}{n}=-\infty}\)

A czy takie rozwiązanie jest złe ?

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (1,1)} \frac{(x-1)(y-1)}{x+y-2} = \lim_{x\to 1} [ \lim_{y\to 1} \frac{(x-1)(y-1)}{x+y-2}] = \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)0}{x-1} = \lim_{x\to 1} 0 =0}\)

Tak, bo granica podwójna nie musi być równa granicy iterowanej, np w tym przypadku nie jest.

Aha czyli tak można liczyć granice w których x i y dążą do pewnych punktów a nie do zera ?

Aha czyli tak można liczyć granice w których x i y dążą do pewnych punktów a nie do zera ?

Skąd taki wniosek?
Przecież tutaj ani x ani y nie dąży do zera...

Tu punkt w którym liczysz nie ma żadnego znaczenia i nie można tak liczyć granicy dlatego policzenie granicy funkcji dwóch zmiennych zazwyczaj jest trudniejsze, choć jeśli już Ci się uda i wyjdzie że granica podwójna istnieje to to co Ty policzyłeś czyli granica iterowana też będzie tyle wynosić, ale nie możesz wnioskować na podstawie wartości granicy iterowanej że taka jest granica podwójna w tym punkcie, to nie jest równoważne