obliczyć granice

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Kubagwk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 69
Rejestracja: 16 sie 2007, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 19 razy

obliczyć granice

Post autor: Kubagwk » 9 wrz 2007, o 19:35

Obliczyć granice \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (1,1)} \frac{(x-1)(y-1)}{x+y-2}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

dh10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 2 maja 2007, o 11:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jelenia Góra
Pomógł: 15 razy

obliczyć granice

Post autor: dh10 » 10 wrz 2007, o 00:14

Funkcja nie posiada granicy w tym punkcie

Weź dwa przykłady różnych ciągów zbieżnych do \(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ 1)}\)
\(\displaystyle{ x_n=1+\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ y_n= 1+\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow }f(x_n,y_n)=\lim_{n\rightarrow }\frac{(1+\frac{1}{n}-1)(1+\frac{1}{n}-1)}{1+\frac{1}{n}+1+\frac{1}{n}-2}=\lim_{n\rightarrow }\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{2}{n}}=\lim_{n\rightarrow }\frac{1}{2n}=0}\)

\(\displaystyle{ 2)}\)
\(\displaystyle{ x_n=1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}}\)
\(\displaystyle{ y_n= 1+\frac{1}{n}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow }f(x_n,y_n)=\lim_{n\rightarrow }\frac{(1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}-1)(1+\frac{1}{n}-1)}{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}+1+\frac{1}{n}-2}=\lim_{n\rightarrow }
\frac{(-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3})\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^3}}=\lim_{n\rightarrow }\frac{-\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^3}}=\lim_{n\rightarrow } -n+\frac{1}{n}=-\infty}\)

Kubagwk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 69
Rejestracja: 16 sie 2007, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 19 razy

obliczyć granice

Post autor: Kubagwk » 10 wrz 2007, o 10:39

A czy takie rozwiązanie jest złe ?

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to (1,1)} \frac{(x-1)(y-1)}{x+y-2} = \lim_{x\to 1} [ \lim_{y\to 1} \frac{(x-1)(y-1)}{x+y-2}] = \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)0}{x-1} = \lim_{x\to 1} 0 =0}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

obliczyć granice

Post autor: max » 10 wrz 2007, o 16:17

Tak, bo granica podwójna nie musi być równa granicy iterowanej, np w tym przypadku nie jest.

Kubagwk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 69
Rejestracja: 16 sie 2007, o 17:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek
Podziękował: 19 razy

obliczyć granice

Post autor: Kubagwk » 10 wrz 2007, o 20:41

Aha czyli tak można liczyć granice w których x i y dążą do pewnych punktów a nie do zera ?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

obliczyć granice

Post autor: max » 10 wrz 2007, o 20:48

Aha czyli tak można liczyć granice w których x i y dążą do pewnych punktów a nie do zera ?
Skąd taki wniosek?
Przecież tutaj ani x ani y nie dąży do zera...

dh10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 2 maja 2007, o 11:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jelenia Góra
Pomógł: 15 razy

obliczyć granice

Post autor: dh10 » 10 wrz 2007, o 22:25

Tu punkt w którym liczysz nie ma żadnego znaczenia i nie można tak liczyć granicy dlatego policzenie granicy funkcji dwóch zmiennych zazwyczaj jest trudniejsze, choć jeśli już Ci się uda i wyjdzie że granica podwójna istnieje to to co Ty policzyłeś czyli granica iterowana też będzie tyle wynosić, ale nie możesz wnioskować na podstawie wartości granicy iterowanej że taka jest granica podwójna w tym punkcie, to nie jest równoważne

ODPOWIEDZ