Matematyka.pl

Suma 3 liczb pierwszych jest 11 razy mniejsza od ich iloczyny. Wyznacz te liczby pierwsze

doszedłem do tego ze jedną z nich jest liczba 11 ale co dalej to nie wiem proszę o fast pomoc

\(\displaystyle{ 11(a+b+c)=abc}\)
z tego mamy, że jedna z nich =11 bez straty ogólności niech to będzie a.
Wtedy \(\displaystyle{ 11+b+c=bc \Leftrightarrow bc-b-c+1=12 \Leftrightarrow (b-1)(c-1)=12}\) dalej sam już pewnie dokończysz.

no i dalej to tylko przez podstawianie czy nie??

Dalej to:
\(\displaystyle{ 12=1 \cdot 12= \cdot 3 \cdot 4=4 \cdot 3=2 \cdot 6=..................}\)

tak to jest dobre rozwiązanie lecz nauczyciel pow mi ze jest jeszcze jedno bardziej skomplikowane. po zauważeniu tego ze jedną z nich jest 11 trzeba skorzystać z twierdzenia ale jakiego tego juz mi nie pow. Ciekawi mnie to więc jeśli możecie to proszę o podpowiedź.

\(\displaystyle{ a + b + c = \frac{abc}{11}}\)
Zatem jedną z liczb jest \(\displaystyle{ 11}\), bo inaczej \(\displaystyle{ abc}\) byłoby złożone. Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ c=11}\) (nie tracimy na ogólności oczywiście):
\(\displaystyle{ a + b + 11 = ab\\
a + b - ab = -11\\
(a - 1)(1-b) +1 = -11\\
(a-1)(1-b) = -12}\)
Ponieważ liczby są pierwsze, czyli są całkowite, to wypisujemy wszystkie liczby, których iloczyn daje \(\displaystyle{ -12}\)

I czym ten sposób różni się od mojego?

A ktoś stwierdził, że się różni?

no właśnie on sie niczym nie rózni a ja chce się dzowiedzięc z jakiego twierdzenia tu skorzystac zeby nam doszło do wyniku. To nie jest najleprze rozwiązanie gdy by tam nie było 12 tylko 10000000 wtedy jest problem prawda??

Nie ma różnicy, czyli po prawej jest dwanaście, czy dwanaście milionów. Postępujemy tak samo - ponieważ rozwiązujemy równanie w liczbach całkowitych, więc rozbijamy liczbę na czynniki pierwsze (ewentualnie ich iloczyn) i rozpatrujemy kilka przypadków. A po lewej stronie mamy iloczyn, zatem jedynymi możliwymi rozwiązaniami mogą być liczby, które po odpowiednich "obróbkach" (czyli przykładowo po odjęciu jedynki w tym przypadku) są podzielnikami liczby z prawej strony.

Afish pisze:Nie ma różnicy, czyli po prawej jest dwanaście, czy dwanaście milionów. Postępujemy tak samo - ponieważ rozwiązujemy równanie w liczbach całkowitych, więc rozbijamy liczbę na czynniki pierwsze (ewentualnie ich iloczyn) i rozpatrujemy kilka przypadków. A po lewej stronie mamy iloczyn, zatem jedynymi możliwymi rozwiązaniami mogą być liczby, które po odpowiednich "obróbkach" (czyli przykładowo po odjęciu jedynki w tym przypadku) są podzielnikami liczby z prawej strony.

To rozwiąż to zadanie na kartce (bez komputera) i zamiast 11 w treści wpisz sobie 10000.

smigol pisze: To rozwiąż to zadanie na kartce (bez komputera) i zamiast 11 w treści wpisz sobie 10000.

Nie widzę problemu.

Sorry, 9999.
Wtedy rozbijasz 10000 na czynniki pierwsze.
Nie będzie ciut za dużo przypadków, żeby policzyć na kartce, w jakimś sensownym przedziale czasu?

smigol pisze: Nie będzie ciut za dużo przypadków, żeby policzyć na kartce, w jakimś sensownym przedziale czasu?

Owszem, to zajmie dużo czasu. Ale jak chcesz to rozwiązać szybciej?

Ja takiej nie znam, ale podobno nauczyciel (wykładowca/ćwiczeniowiec?) kebo, ma jakąś szybszą metodę.