trzy liczby pierwsze

Problemy matematyczne "ubrane" w życiowe problemy.
kebo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 10 cze 2010, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock

trzy liczby pierwsze

Post autor: kebo » 10 cze 2010, o 21:36

Suma 3 liczb pierwszych jest 11 razy mniejsza od ich iloczyny. Wyznacz te liczby pierwsze

doszedłem do tego ze jedną z nich jest liczba 11 ale co dalej to nie wiem proszę o fast pomoc

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

trzy liczby pierwsze

Post autor: smigol » 10 cze 2010, o 21:49

\(\displaystyle{ 11(a+b+c)=abc}\)
z tego mamy, że jedna z nich =11 bez straty ogólności niech to będzie a.
Wtedy \(\displaystyle{ 11+b+c=bc \Leftrightarrow bc-b-c+1=12 \Leftrightarrow (b-1)(c-1)=12}\) dalej sam już pewnie dokończysz.

kebo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 10 cze 2010, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock

trzy liczby pierwsze

Post autor: kebo » 10 cze 2010, o 22:03

no i dalej to tylko przez podstawianie czy nie??

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

trzy liczby pierwsze

Post autor: smigol » 11 cze 2010, o 15:52

Dalej to:
\(\displaystyle{ 12=1 \cdot 12= \cdot 3 \cdot 4=4 \cdot 3=2 \cdot 6=..................}\)

kebo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 10 cze 2010, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock

trzy liczby pierwsze

Post autor: kebo » 12 cze 2010, o 14:46

tak to jest dobre rozwiązanie lecz nauczyciel pow mi ze jest jeszcze jedno bardziej skomplikowane. po zauważeniu tego ze jedną z nich jest 11 trzeba skorzystać z twierdzenia ale jakiego tego juz mi nie pow. Ciekawi mnie to więc jeśli możecie to proszę o podpowiedź.

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

trzy liczby pierwsze

Post autor: Afish » 12 cze 2010, o 16:07

\(\displaystyle{ a + b + c = \frac{abc}{11}}\)
Zatem jedną z liczb jest \(\displaystyle{ 11}\), bo inaczej \(\displaystyle{ abc}\) byłoby złożone. Przyjmijmy, że \(\displaystyle{ c=11}\) (nie tracimy na ogólności oczywiście):
\(\displaystyle{ a + b + 11 = ab\\
a + b - ab = -11\\
(a - 1)(1-b) +1 = -11\\
(a-1)(1-b) = -12}\)

Ponieważ liczby są pierwsze, czyli są całkowite, to wypisujemy wszystkie liczby, których iloczyn daje \(\displaystyle{ -12}\)

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

trzy liczby pierwsze

Post autor: smigol » 12 cze 2010, o 16:22

I czym ten sposób różni się od mojego?

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

trzy liczby pierwsze

Post autor: Afish » 12 cze 2010, o 16:31

A ktoś stwierdził, że się różni?

kebo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 10 cze 2010, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock

trzy liczby pierwsze

Post autor: kebo » 16 cze 2010, o 19:18

no właśnie on sie niczym nie rózni a ja chce się dzowiedzięc z jakiego twierdzenia tu skorzystac zeby nam doszło do wyniku. To nie jest najleprze rozwiązanie gdy by tam nie było 12 tylko 10000000 wtedy jest problem prawda??

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

trzy liczby pierwsze

Post autor: Afish » 16 cze 2010, o 19:22

Nie ma różnicy, czyli po prawej jest dwanaście, czy dwanaście milionów. Postępujemy tak samo - ponieważ rozwiązujemy równanie w liczbach całkowitych, więc rozbijamy liczbę na czynniki pierwsze (ewentualnie ich iloczyn) i rozpatrujemy kilka przypadków. A po lewej stronie mamy iloczyn, zatem jedynymi możliwymi rozwiązaniami mogą być liczby, które po odpowiednich "obróbkach" (czyli przykładowo po odjęciu jedynki w tym przypadku) są podzielnikami liczby z prawej strony.

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

trzy liczby pierwsze

Post autor: smigol » 16 cze 2010, o 19:41

Afish pisze:Nie ma różnicy, czyli po prawej jest dwanaście, czy dwanaście milionów. Postępujemy tak samo - ponieważ rozwiązujemy równanie w liczbach całkowitych, więc rozbijamy liczbę na czynniki pierwsze (ewentualnie ich iloczyn) i rozpatrujemy kilka przypadków. A po lewej stronie mamy iloczyn, zatem jedynymi możliwymi rozwiązaniami mogą być liczby, które po odpowiednich "obróbkach" (czyli przykładowo po odjęciu jedynki w tym przypadku) są podzielnikami liczby z prawej strony.

To rozwiąż to zadanie na kartce (bez komputera) i zamiast 11 w treści wpisz sobie 10000.

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

trzy liczby pierwsze

Post autor: Afish » 16 cze 2010, o 19:47

smigol pisze: To rozwiąż to zadanie na kartce (bez komputera) i zamiast 11 w treści wpisz sobie 10000.
Nie widzę problemu.
Ostatnio zmieniony 16 cze 2010, o 19:53 przez Afish, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

trzy liczby pierwsze

Post autor: smigol » 16 cze 2010, o 19:51

Sorry, 9999.
Wtedy rozbijasz 10000 na czynniki pierwsze.
Nie będzie ciut za dużo przypadków, żeby policzyć na kartce, w jakimś sensownym przedziale czasu?

Afish
Moderator
Moderator
Posty: 2828
Rejestracja: 15 cze 2008, o 15:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Seattle, WA
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 356 razy

trzy liczby pierwsze

Post autor: Afish » 16 cze 2010, o 19:54

smigol pisze: Nie będzie ciut za dużo przypadków, żeby policzyć na kartce, w jakimś sensownym przedziale czasu?
Owszem, to zajmie dużo czasu. Ale jak chcesz to rozwiązać szybciej?

Awatar użytkownika
smigol
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

trzy liczby pierwsze

Post autor: smigol » 16 cze 2010, o 20:12

Ja takiej nie znam, ale podobno nauczyciel (wykładowca/ćwiczeniowiec?) kebo, ma jakąś szybszą metodę.

ODPOWIEDZ