Matematyka.pl

Jak udowodnić podzielność liczby przez 7, 11 i 13?
z góry dziękuję za pomoc

Nie chodziło mi o cechy podzielności, ale o dowody na podzielność

Mogę Ci machnąć dowód podzielności przez 11 (jest bardzo łatwy).
Weźmy jakąś liczbę \(\displaystyle{ x=a_{0}+10a_{1}+...+10^{n}a_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{i}}\), dla \(\displaystyle{ i=0,1,...,n}\), są cyframi naszej liczby. Skorzytamy tu z własności, że jeżeli \(\displaystyle{ a\equiv b (modm)}\) to \(\displaystyle{ W(a) \equiv W(b) (modm)}\), gdzie W to wielomian o współczynnikach całkowitych. Zauważmy, że \(\displaystyle{ 10 \equiv -1 (mod11)}\). W takim razie biorąc \(\displaystyle{ W(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}}\) otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ a_{0}+10a_{1}+...+10^{n}a_{n} \equiv a_{0}-a_{1}+a_{2}+...+(-1)^{n}a_{n}(mod11)}\), co kończy dowód

Odświerzam
A dowód podzielności przez 7, lub 3 i 9?

Przez siedem nie znam dowodu. Przez 9 i 3 mamy analogicznie jak dla 11 (w tym wypadku cechy podzielności dla 3 i 9 będą takie same, bo dowód taki sam):
Weźmy jakąś liczbę \(\displaystyle{ x=a_{0}+10a_{1}+...+10^{n}a_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{i}}\), dla \(\displaystyle{ i=0,1,...,n}\), są cyframi naszej liczby. Skorzytamy tu z własności, że jeżeli aequiv b (modm) to W(a) equiv W(b) (modm), gdzie W to wielomian o współczynnikach całkowitych. Zauważmy, że
\(\displaystyle{ 10\equiv 1 \ (mod9)}\) czyli dalej

\(\displaystyle{ a_{0}+10a_{1}+...+10^{n}a_{n} \equiv a_{0}+a_{1}+a_{2}+...++a_{n}(mod9)}\)
Ten sam dowód jest identyczny dla trójki

Przez 7 masz
\(\displaystyle{ 10\equiv 3 od 7}\)
czyli zamieniasz potęgi dziesiątek na potęgi trójek itd...