Podzielność przez 7,11,13

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
ajkos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 wrz 2007, o 19:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Podzielność przez 7,11,13

Post autor: ajkos » 15 wrz 2007, o 12:23

Jak udowodnić podzielność liczby przez 7, 11 i 13?
z góry dziękuję za pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
ariadna
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2702
Rejestracja: 22 maja 2005, o 22:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Olsztyn/Berlin
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 642 razy

Podzielność przez 7,11,13

Post autor: ariadna » 15 wrz 2007, o 12:33


ajkos
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 wrz 2007, o 19:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Podzielność przez 7,11,13

Post autor: ajkos » 15 wrz 2007, o 19:36

Nie chodziło mi o cechy podzielności, ale o dowody na podzielność

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Podzielność przez 7,11,13

Post autor: Piotr Rutkowski » 15 wrz 2007, o 23:35

Mogę Ci machnąć dowód podzielności przez 11 (jest bardzo łatwy).
Weźmy jakąś liczbę \(\displaystyle{ x=a_{0}+10a_{1}+...+10^{n}a_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{i}}\), dla \(\displaystyle{ i=0,1,...,n}\), są cyframi naszej liczby. Skorzytamy tu z własności, że jeżeli \(\displaystyle{ a\equiv b (modm)}\) to \(\displaystyle{ W(a) \equiv W(b) (modm)}\), gdzie W to wielomian o współczynnikach całkowitych. Zauważmy, że \(\displaystyle{ 10 \equiv -1 (mod11)}\). W takim razie biorąc \(\displaystyle{ W(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}}\) otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ a_{0}+10a_{1}+...+10^{n}a_{n} \equiv a_{0}-a_{1}+a_{2}+...+(-1)^{n}a_{n}(mod11)}\), co kończy dowód

mariusz.net
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 21 paź 2006, o 13:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Legnica

Podzielność przez 7,11,13

Post autor: mariusz.net » 19 paź 2007, o 15:26

Odświerzam
A dowód podzielności przez 7, lub 3 i 9?

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Podzielność przez 7,11,13

Post autor: Piotr Rutkowski » 19 paź 2007, o 16:05

Przez siedem nie znam dowodu. Przez 9 i 3 mamy analogicznie jak dla 11 (w tym wypadku cechy podzielności dla 3 i 9 będą takie same, bo dowód taki sam):
Weźmy jakąś liczbę \(\displaystyle{ x=a_{0}+10a_{1}+...+10^{n}a_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{i}}\), dla \(\displaystyle{ i=0,1,...,n}\), są cyframi naszej liczby. Skorzytamy tu z własności, że jeżeli aequiv b (modm) to W(a) equiv W(b) (modm), gdzie W to wielomian o współczynnikach całkowitych. Zauważmy, że
\(\displaystyle{ 10\equiv 1 \ (mod9)}\) czyli dalej

\(\displaystyle{ a_{0}+10a_{1}+...+10^{n}a_{n} \equiv a_{0}+a_{1}+a_{2}+...++a_{n}(mod9)}\)
Ten sam dowód jest identyczny dla trójki

Awatar użytkownika
Lorek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 7149
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Podzielność przez 7,11,13

Post autor: Lorek » 19 paź 2007, o 16:10

Przez 7 masz
\(\displaystyle{ 10\equiv 3 od 7}\)
czyli zamieniasz potęgi dziesiątek na potęgi trójek itd...

ODPOWIEDZ