Matematyka.pl

wyprowadź wzór na różnicę sześcianów
\(\displaystyle{ a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}\)

\(\displaystyle{ a^{3}-b^{3}=(a+b)-(-3a^{2}b)-3ab^{2}=\\
\\=(a+b)^{3}+3a^{2}b-3ab^{2}=\\
\\=(a+b)(a+b)^{2}+3ab(a-b)}\)
i co teraz?
gdyby w ostatniej linijce, w ostatnim nawiasie było (a+b) wiedziałabym, co dalej, ale niestety jest minus. :/

prawie dobrze
\(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)^3+3a^2b-3ab^2=(a-b)(a-b)^2+3ab(a-b) =}\) \(\displaystyle{ =(a-b)(a^2-2ab+b^2+3ab)=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\)

jeszcze prościej - rozpocząć dowód od strony prawej - wymnożyć nawiasy i zostanie \(\displaystyle{ a^3-b^3}\)

wer0nisia pisze:\(\displaystyle{ a^{3}-b^{3}=(a+b)-(-3a^{2}b)-3ab^{2}}\)

Nie jest to prawdą (pomijam brakującą potęgę - chodzi o minusy). Ale byłaś blisko:
\(\displaystyle{ a^3-b^3=(a-b)^3+3a^2b-3ab^2=(a-b)(a-b)^2+3ab(a-b)=\\=
(a-b)[(a-b)^2+3ab]=(a-b)(a^2+ab+b^2)}\)