Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą nieujemne oraz takie że \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=a+b+c}\) oraz \(\displaystyle{ c>0}\). Wyznaczyc maksymalną wartość \(\displaystyle{ a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}.}\)

Na myśl przychodzi mi metoda mnożników Lagrange'a. Ale przy takiej funkcji to będzie ciężka praca.

A czy nie można by od razu zauważyć że funkcja \(\displaystyle{ f(a,b,c)=a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}}\) jest malejąca ze względu na zmienną \(\displaystyle{ b}\) więc \(\displaystyle{ f(a,b,c) \le f(a,0,c)=a+c}\).

Zostaje mam maksymalizacja \(\displaystyle{ f(a,c)=a+c}\) przy warunku \(\displaystyle{ a^2+c^2=a+c}\) warunek ten można by traktować jak równanie okręgu \(\displaystyle{ \left( a- \frac{1}{2} \right)^2+\left( c- \frac{1}{2} \right)^2= \frac{1}{2}}\)

A to już mnożnikami Lagrange'a lub zwykłą metodą powinno pójść gładko.

Moim zdaniem mnożniki Lagrange'a to przesada w tym wypadku.
\(\displaystyle{ (a+c)^2\le 2(c^2+a^2)=2(a+c)}\), więc \(\displaystyle{ a+c\le 2}\), równość dla \(\displaystyle{ a=c=1}\).
Czyli ogólnie przy założeniach zadania mamy
\(\displaystyle{ a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}} \le 2}\) i równość dla \(\displaystyle{ (a,b,c)=(1,0,1)}\).

Janusz Tracz pisze:A czy nie można by od razu zauważyć że funkcja \(\displaystyle{ f(a,b,c)=a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}}\) jest malejąca ze względu na zmienną \(\displaystyle{ b}\) więc \(\displaystyle{ f(a,b,c) \le f(a,0,c)=a+c}\).

Nie można. Bo zmiana \(\displaystyle{ b}\) wymusza zmianę \(\displaystyle{ a}\) i/lub \(\displaystyle{ c}\) z powodu więzów.

a4karo pisze:

Janusz Tracz pisze:A czy nie można by od razu zauważyć że funkcja \(\displaystyle{ f(a,b,c)=a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}}\) jest malejąca ze względu na zmienną \(\displaystyle{ b}\) więc \(\displaystyle{ f(a,b,c) \le f(a,0,c)=a+c}\).

Nie można. Bo zmiana \(\displaystyle{ b}\) wymusza zmianę \(\displaystyle{ a}\) i/lub \(\displaystyle{ c}\) z powodu więzów.

Zgadzam się z opinią.