maksymalna wartość ułamka

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
maximum2000
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 19 cze 2017, o 08:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ola
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 5 razy

maksymalna wartość ułamka

Post autor: maximum2000 » 27 paź 2017, o 18:41

Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą nieujemne oraz takie że \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2=a+b+c}\) oraz \(\displaystyle{ c>0}\). Wyznaczyc maksymalną wartość \(\displaystyle{ a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}.}\)
Ostatnio zmieniony 27 paź 2017, o 19:37 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.

robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Re: maksymalna wartość ułamka

Post autor: robertm19 » 27 paź 2017, o 21:14

Na myśl przychodzi mi metoda mnożników Lagrange'a. Ale przy takiej funkcji to będzie ciężka praca.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3141
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1068 razy

Re: maksymalna wartość ułamka

Post autor: Janusz Tracz » 27 paź 2017, o 21:38

A czy nie można by od razu zauważyć że funkcja \(\displaystyle{ f(a,b,c)=a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}}\) jest malejąca ze względu na zmienną \(\displaystyle{ b}\) więc \(\displaystyle{ f(a,b,c) \le f(a,0,c)=a+c}\).

Zostaje mam maksymalizacja \(\displaystyle{ f(a,c)=a+c}\) przy warunku \(\displaystyle{ a^2+c^2=a+c}\) warunek ten można by traktować jak równanie okręgu \(\displaystyle{ \left( a- \frac{1}{2} \right)^2+\left( c- \frac{1}{2} \right)^2= \frac{1}{2}}\)

A to już mnożnikami Lagrange'a lub zwykłą metodą powinno pójść gładko.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: maksymalna wartość ułamka

Post autor: Premislav » 27 paź 2017, o 22:00

Moim zdaniem mnożniki Lagrange'a to przesada w tym wypadku.
\(\displaystyle{ (a+c)^2\le 2(c^2+a^2)=2(a+c)}\), więc \(\displaystyle{ a+c\le 2}\), równość dla \(\displaystyle{ a=c=1}\).
Czyli ogólnie przy założeniach zadania mamy
\(\displaystyle{ a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}} \le 2}\) i równość dla \(\displaystyle{ (a,b,c)=(1,0,1)}\).

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19184
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3243 razy

Re: maksymalna wartość ułamka

Post autor: a4karo » 27 paź 2017, o 22:07

Janusz Tracz pisze:A czy nie można by od razu zauważyć że funkcja \(\displaystyle{ f(a,b,c)=a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}}\) jest malejąca ze względu na zmienną \(\displaystyle{ b}\) więc \(\displaystyle{ f(a,b,c) \le f(a,0,c)=a+c}\).
Nie można. Bo zmiana \(\displaystyle{ b}\) wymusza zmianę \(\displaystyle{ a}\) i/lub \(\displaystyle{ c}\) z powodu więzów.

robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Re: maksymalna wartość ułamka

Post autor: robertm19 » 27 paź 2017, o 22:16

a4karo pisze:
Janusz Tracz pisze:A czy nie można by od razu zauważyć że funkcja \(\displaystyle{ f(a,b,c)=a+\frac{1}{b+\frac{1}{c}}}\) jest malejąca ze względu na zmienną \(\displaystyle{ b}\) więc \(\displaystyle{ f(a,b,c) \le f(a,0,c)=a+c}\).
Nie można. Bo zmiana \(\displaystyle{ b}\) wymusza zmianę \(\displaystyle{ a}\) i/lub \(\displaystyle{ c}\) z powodu więzów.
Zgadzam się z opinią.

ODPOWIEDZ