Matematyka.pl

Znajdź błąd w poniższym rozwiązaniu równania
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1+x}+ \sqrt[3]{1-x} =-1}\)
Rozwiązanie:
Oznaczmy:\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1+x}=a, \sqrt[3]{1-x}=b, 1=c}\)
Podnosząc obie strony równania a+ b=-c do trzeciej potęgi otrzymujemy równanie
\(\displaystyle{ a^{3}+ b^{3} + 3ab(a+b)= (-c)^{3}}\),
następnie podstawiając(-c) w miejsce a+b otrzymujemy
\(\displaystyle{ a^{3}+ b^{3} +c^{3} - 3abc = 0}\).
Tym samym z równania a+b+c=0
otrzymaliśmy równanie
\(\displaystyle{ a^{3}+ b^{3} +c^{3} - 3abc = 0}\),
czyli korzystając z tożsamości mamy:
\(\displaystyle{ (a+b+c)(a^{2}+b^{2} + c^{2}- ab - bc - ca)=0}\)
Mogliśmy przy tym otrzymać dodatkowe pierwiastki, które są pierwiastkami równania
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} + c^{2}- ab - bc - ca=0}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ a^{2}+b ^{2} + c^{2}- ab - bc - ca= \frac{1}{2} ((a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2})}\), to jest możliwe tylko w przypadku a=b=c. Oznacza to, że każdy dodatkowy pierwiastek musi spełniać równanie
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1+x}= \sqrt[3]{1-x} =1}\),
czyli x=0 i łatwo stwierdzić, że liczba ta istotnie nie jest rozwiązaniem wyjściowego równania.

Moim zadaniem jett napisać komentarz na czym polegał i w którym momencie rozumowania pojawił się błąd.Bardzo proszę o pomoc

edzia18lesniak pisze:(...)
Tym samym z równania a+b+c=0
otrzymaliśmy równanie
(...)
\(\displaystyle{ (a+b+c)(a^{2}+b^{2} + c^{2}- ab - bc - ca)=0}\).

Ta implikacja jest zawsze prawdziwa, niezależnie od wartości wyrażenia \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} + c^{2}- ab - bc - ca=0}\). (Iloczyn zera przez dowolną liczbę jest równy zeru.)

edzia18lesniak pisze:Mogliśmy przy tym otrzymać dodatkowe pierwiastki, które są pierwiastkami równania
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} + c^{2}- ab - bc - ca=0}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ a^{2}+b ^{2} + c^{2}- ab - bc - ca= \frac{1}{2} ((a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2})}\), to jest możliwe tylko w przypadku a=b=c. Oznacza to, że każdy dodatkowy pierwiastek musi spełniać równanie
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1+x}= \sqrt[3]{1-x} =1}\),
czyli x=0 i łatwo stwierdzić, że liczba ta istotnie nie jest rozwiązaniem wyjściowego równania.

Wobec powyższej uwagi traci sens badanie istnienia dodatkowych pierwiastków (pochodzących od równania \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} + c^{2}- ab - bc - ca=0}\)), bo cała istota rozwiązania danego równania skupia się cały czas na równaniu \(\displaystyle{ a+b+c=0}\).