Znajdz błąd w rozwiązaniu równania

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
edzia18lesniak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 11 lis 2008, o 15:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kraków

Znajdz błąd w rozwiązaniu równania

Post autor: edzia18lesniak » 8 lip 2010, o 20:01

Znajdź błąd w poniższym rozwiązaniu równania
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1+x}+ \sqrt[3]{1-x} =-1}\)
Rozwiązanie:
Oznaczmy:\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1+x}=a, \sqrt[3]{1-x}=b, 1=c}\)
Podnosząc obie strony równania a+ b=-c do trzeciej potęgi otrzymujemy równanie
\(\displaystyle{ a^{3}+ b^{3} + 3ab(a+b)= (-c)^{3}}\),
następnie podstawiając(-c) w miejsce a+b otrzymujemy
\(\displaystyle{ a^{3}+ b^{3} +c^{3} - 3abc = 0}\).
Tym samym z równania a+b+c=0
otrzymaliśmy równanie
\(\displaystyle{ a^{3}+ b^{3} +c^{3} - 3abc = 0}\),
czyli korzystając z tożsamości mamy:
\(\displaystyle{ (a+b+c)(a^{2}+b^{2} + c^{2}- ab - bc - ca)=0}\)
Mogliśmy przy tym otrzymać dodatkowe pierwiastki, które są pierwiastkami równania
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} + c^{2}- ab - bc - ca=0}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ a^{2}+b ^{2} + c^{2}- ab - bc - ca= \frac{1}{2} ((a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2})}\), to jest możliwe tylko w przypadku a=b=c. Oznacza to, że każdy dodatkowy pierwiastek musi spełniać równanie
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1+x}= \sqrt[3]{1-x} =1}\),
czyli x=0 i łatwo stwierdzić, że liczba ta istotnie nie jest rozwiązaniem wyjściowego równania.

Moim zadaniem jett napisać komentarz na czym polegał i w którym momencie rozumowania pojawił się błąd.Bardzo proszę o pomoc

lukasz1804
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Znajdz błąd w rozwiązaniu równania

Post autor: lukasz1804 » 8 lip 2010, o 21:12

edzia18lesniak pisze:(...)
Tym samym z równania a+b+c=0
otrzymaliśmy równanie
(...)
\(\displaystyle{ (a+b+c)(a^{2}+b^{2} + c^{2}- ab - bc - ca)=0}\).
Ta implikacja jest zawsze prawdziwa, niezależnie od wartości wyrażenia \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} + c^{2}- ab - bc - ca=0}\). (Iloczyn zera przez dowolną liczbę jest równy zeru.)
edzia18lesniak pisze:Mogliśmy przy tym otrzymać dodatkowe pierwiastki, które są pierwiastkami równania
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} + c^{2}- ab - bc - ca=0}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ a^{2}+b ^{2} + c^{2}- ab - bc - ca= \frac{1}{2} ((a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2})}\), to jest możliwe tylko w przypadku a=b=c. Oznacza to, że każdy dodatkowy pierwiastek musi spełniać równanie
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{1+x}= \sqrt[3]{1-x} =1}\),
czyli x=0 i łatwo stwierdzić, że liczba ta istotnie nie jest rozwiązaniem wyjściowego równania.
Wobec powyższej uwagi traci sens badanie istnienia dodatkowych pierwiastków (pochodzących od równania \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} + c^{2}- ab - bc - ca=0}\)), bo cała istota rozwiązania danego równania skupia się cały czas na równaniu \(\displaystyle{ a+b+c=0}\).

ODPOWIEDZ