Matematyka.pl

Czy z wysokości dowolnego trójkąta można zawsze zbudować trójkąt ? I czy można " w nieskończoność"
takie trójkąty konstruować ?

* To samo pytanie dla dwusiecznych i środkowych...

Kontrprzykład (\(\displaystyle{ a=2 \wedge h=10}\)) dotyczący wysokości :
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw[](-1,0)--(1,0)--(0,10)--(-1,0);
\draw[red](-1,0)--(.99,0.199);
\draw[red](1,0)--(-.99,0.199);
\draw[red](0,0)--(0,10);
\draw[red](0,0)--(0,10);
\draw[blue](-1,0)--(-1,2)--(1,2)--(1,0);
\draw[blue][dashed](-1,0)--(1,2)--(1,0)--(-1,2);
\end{tikzpicture}}\)
Z czerwonych odcinków (wysokości trójkąta) nie można zbudować trójkąta.

A i z dwusiecznych tego trójkąta nie można zbudować trójkąta, bo dwie z nich będą krótsze niż przekątne niebieskiego kwadratu, a wtedy: \(\displaystyle{ d_1+d_2<2 \sqrt{2}+2 \sqrt{2} <10=d_3}\)

Ciekawe zadanie: spróbuj ustalić warunek, jaki muszą spełniać wysokości aby było można to zrobić

a4karo, muszą po prostu spełniać nierówność trójkąta...

timon92 pisze:a4karo, muszą po prostu spełniać nierówność trójkąta...

Racja. Pytanie powinno być sformułowane inaczej: Jakie warunki powinny spełniać boki trójkąta, aby z jego wysokości można było utworzyć trójkąt

Dla trójkąta o bokach \(\displaystyle{ a,b,c}\) można wyznaczyć pole za pomocą wzoru Herona, a po przyrównaniu go do \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}ah_a}\) wyznaczyć długości wszystkich wysokości. Następnie zapisać nierówność trójkąta dla tych wysokości jako boków nowego trójkąta.
Pozdrawiam!

Z tego co widzę to można zbudować tylko przy trójkącie prostokątnym.
Być może jestem w błędzie.

Jesteś. Trójkąt równoboczny jest oczywistym kontrprzykładem na Twoją tezę

Jestem.
Przepraszam, nie dopisałem, że dotyczy trójkątów pitagorejskich.

Longines pisze:Jestem.
Przepraszam, nie dopisałem, że dotyczy trójkątów pitagorejskich.

A tego nie rozumiem. Czy możesz sformułować swoją tezę w jednym kawałku, zaczynając od założeń?

przy trójkącie prostokątnym

i przy wysokościach, np. dla boków \(\displaystyle{ (5, 12,13)}\) nie istnieje...

za pomocą wzoru Herona

rachunki mogą być żmudne...>?!

Czy tak trudno się domyślić o jakie trójkąty pitagorejskie chodzi?. Tym bardziej jak się ma kilka tysięcy napisanych postów, przecież to nie bierze się z niczego.

Trójki pitagorejskie rzędu:
3, 4, 5
6, 8, 10
9, 12, 15 itd.
Chętnie zobaczę jak ktoś znajdzie inne rozwiązanie.

Wyobraź sobie, że wiem co to trójkąt pitagorejski, ale za Chiny nie kumam co próbujesz udowodnić.

Proszę więc pięknie o sformułowanie jej (wraz z założeniami)

Każda wysokość trójkąta musi być mniejsza od kwadratu, jednej z pozostałych wysokości, podzielonego przez sumę pozostałych wysokości.

Z wysokości trójkąta o bokach \(\displaystyle{ a, b, c}\) można zbudować trójkąt \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) można zbudować trójkąt o bokach \(\displaystyle{ \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}}\).