Trójkąt z trójkąta

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6176
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2552 razy
Pomógł: 673 razy

Trójkąt z trójkąta

Post autor: mol_ksiazkowy » 29 paź 2017, o 13:15

Czy z wysokości dowolnego trójkąta można zawsze zbudować trójkąt ? I czy można " w nieskończoność"
takie trójkąty konstruować ?

* To samo pytanie dla dwusiecznych i środkowych...

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7898
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 243 razy
Pomógł: 3094 razy

Re: Trójkąt z trójkąta

Post autor: kerajs » 29 paź 2017, o 14:21

Kontrprzykład (\(\displaystyle{ a=2 \wedge h=10}\)) dotyczący wysokości :
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture} \draw[](-1,0)--(1,0)--(0,10)--(-1,0); \draw[red](-1,0)--(.99,0.199); \draw[red](1,0)--(-.99,0.199); \draw[red](0,0)--(0,10); \draw[red](0,0)--(0,10); \draw[blue](-1,0)--(-1,2)--(1,2)--(1,0); \draw[blue][dashed](-1,0)--(1,2)--(1,0)--(-1,2); \end{tikzpicture}}\)
Z czerwonych odcinków (wysokości trójkąta) nie można zbudować trójkąta.

A i z dwusiecznych tego trójkąta nie można zbudować trójkąta, bo dwie z nich będą krótsze niż przekątne niebieskiego kwadratu, a wtedy: \(\displaystyle{ d_1+d_2<2 \sqrt{2}+2 \sqrt{2} <10=d_3}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19216
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Trójkąt z trójkąta

Post autor: a4karo » 29 paź 2017, o 17:42

Ciekawe zadanie: spróbuj ustalić warunek, jaki muszą spełniać wysokości aby było można to zrobić

Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1544
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 437 razy

Re: Trójkąt z trójkąta

Post autor: timon92 » 29 paź 2017, o 17:46

a4karo, muszą po prostu spełniać nierówność trójkąta...

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19216
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Trójkąt z trójkąta

Post autor: a4karo » 29 paź 2017, o 17:57

timon92 pisze:a4karo, muszą po prostu spełniać nierówność trójkąta...
Racja. Pytanie powinno być sformułowane inaczej: Jakie warunki powinny spełniać boki trójkąta, aby z jego wysokości można było utworzyć trójkąt

Awatar użytkownika
wujomaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2154
Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 299 razy

Re: Trójkąt z trójkąta

Post autor: wujomaro » 29 paź 2017, o 18:01

Dla trójkąta o bokach \(\displaystyle{ a,b,c}\) można wyznaczyć pole za pomocą wzoru Herona, a po przyrównaniu go do \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}ah_a}\) wyznaczyć długości wszystkich wysokości. Następnie zapisać nierówność trójkąta dla tych wysokości jako boków nowego trójkąta.
Pozdrawiam!

Longines
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 11 cze 2009, o 22:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Trójkąt z trójkąta

Post autor: Longines » 29 paź 2017, o 18:47

Z tego co widzę to można zbudować tylko przy trójkącie prostokątnym.
Być może jestem w błędzie.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19216
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Trójkąt z trójkąta

Post autor: a4karo » 29 paź 2017, o 19:00

Jesteś. Trójkąt równoboczny jest oczywistym kontrprzykładem na Twoją tezę

Longines
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 11 cze 2009, o 22:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Trójkąt z trójkąta

Post autor: Longines » 29 paź 2017, o 19:07

Jestem.
Przepraszam, nie dopisałem, że dotyczy trójkątów pitagorejskich.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19216
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Trójkąt z trójkąta

Post autor: a4karo » 29 paź 2017, o 19:20

Longines pisze:Jestem.
Przepraszam, nie dopisałem, że dotyczy trójkątów pitagorejskich.
A tego nie rozumiem. Czy możesz sformułować swoją tezę w jednym kawałku, zaczynając od założeń?

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6176
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2552 razy
Pomógł: 673 razy

Trójkąt z trójkąta

Post autor: mol_ksiazkowy » 29 paź 2017, o 20:45

przy trójkącie prostokątnym
i przy wysokościach, np. dla boków \(\displaystyle{ (5, 12,13)}\) nie istnieje...
za pomocą wzoru Herona
rachunki mogą być żmudne...>?!

Longines
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 104
Rejestracja: 11 cze 2009, o 22:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Trójkąt z trójkąta

Post autor: Longines » 29 paź 2017, o 21:00

Czy tak trudno się domyślić o jakie trójkąty pitagorejskie chodzi?. Tym bardziej jak się ma kilka tysięcy napisanych postów, przecież to nie bierze się z niczego.

Trójki pitagorejskie rzędu:
3, 4, 5
6, 8, 10
9, 12, 15 itd.
Chętnie zobaczę jak ktoś znajdzie inne rozwiązanie.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19216
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Trójkąt z trójkąta

Post autor: a4karo » 29 paź 2017, o 21:05

Wyobraź sobie, że wiem co to trójkąt pitagorejski, ale za Chiny nie kumam co próbujesz udowodnić.

Proszę więc pięknie o sformułowanie jej (wraz z założeniami)

Brombal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 287
Rejestracja: 1 gru 2015, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 8 razy

Re: Trójkąt z trójkąta

Post autor: Brombal » 3 lis 2017, o 17:08

Każda wysokość trójkąta musi być mniejsza od kwadratu, jednej z pozostałych wysokości, podzielonego przez sumę pozostałych wysokości.

Kaf
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 826
Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 187 razy

Re: Trójkąt z trójkąta

Post autor: Kaf » 3 lis 2017, o 17:12

Z wysokości trójkąta o bokach \(\displaystyle{ a, b, c}\) można zbudować trójkąt \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) można zbudować trójkąt o bokach \(\displaystyle{ \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}}\).

ODPOWIEDZ