Matematyka.pl

Witam. Mam takie oto (nie_proste zadanko:

Mamy dowolny trójkąt. Dwa boki mają długości 3 oraz 5. Środkowa poprowadzona do trzeciego ma długość 2. Obliczyć trzeci bok.

Odpowiedzią jest dwa pierwiastki z trzynastu .

Kto wie jak zabrać się za zadanko? Próbowałem zrobić trzy równania z tw. kosinusów, ale jego rozwiązanie do prostych nie należy. Kto ma jakiś pomysł?

Korzystasz ze wzoru na środkową trójkąta
\(\displaystyle{ 2=\frac{1}{2}\sqrt{2{\cdot}3^{2}+2{\cdot}5^{2}-c^{2}}}\)
\(\displaystyle{ 4=\sqrt{2{\cdot}3^{2}+2{\cdot}5^{2}-c^{2}}}\)
\(\displaystyle{ 16=2{\cdot}3^{2}+2{\cdot}5^{2}-c^{2}}\)
\(\displaystyle{ 16=68-c^{2}}\)
\(\displaystyle{ c^{2}=52}\) czyli \(\displaystyle{ c=2\sqrt{13}}\)

Albo z tw. Pitagorasa. Trzeba dorysować wysokość.
Oznaczmy wysokość jako h.
Podstawę środkowa dzieli na dwie różne części-x.
oraz odległość na podstawie pomiędzy środkową i wysokością oznaczmy jako y.
Wychodzi układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}h^{2}+y^{2}=4\\h^{2}+(y+x)^{2}=25\\h^{2}+(x-y)^2=9\end{array}}\)
I też wychodzi \(\displaystyle{ 2x=2\sqrt{13}}\)

Dziekuje!