Optymalny trójkąt prostokątny
-
- Użytkownik
- Posty: 2530
- Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 248 razy
Optymalny trójkąt prostokątny
Wykaż, że ze wszystkich trójkątów prostokątnych o stałym obwodzie największe pole będzie miał trójkąt równoramienny.
Zadanie bez użycia pochodnych, zaciąłem się przy nierównościach pomiędzy średnimi...
Zadanie bez użycia pochodnych, zaciąłem się przy nierównościach pomiędzy średnimi...
-
- Użytkownik
- Posty: 1718
- Rejestracja: 15 wrz 2010, o 15:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrołęka
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 501 razy
Re: Optymalny trójkąt prostokątny
Niech \(\displaystyle{ a+b+c = p}\) będzie tym ustalonym obwodem. Wtedy pole, które mamy optymalizować to \(\displaystyle{ P = \frac{rp}{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest promieniem okręgu wpisanego. Więc zamiast optymalizować pole, możemy zoptymalizować ten promień. Ale jak się zrobi rysunek, to prosto widać, że zachodzi \(\displaystyle{ c = (a-r) + (b-r)}\), czyli \(\displaystyle{ r = \frac{p}{2} - c}\). Wobec tego znowu, zamiast maksymalizować promień, możemy zminimalizować bok \(\displaystyle{ c}\).
Podsumowując, problem sprowadza się do znalezienia minimum \(\displaystyle{ c = \sqrt{a^2+b^2}}\) z warunkiem \(\displaystyle{ a+b+c = p}\), co już łatwo idzie z nierówności miedzy średnią kwadratową a arytmetyczną.
Podsumowując, problem sprowadza się do znalezienia minimum \(\displaystyle{ c = \sqrt{a^2+b^2}}\) z warunkiem \(\displaystyle{ a+b+c = p}\), co już łatwo idzie z nierówności miedzy średnią kwadratową a arytmetyczną.
-
- Użytkownik
- Posty: 2530
- Rejestracja: 15 mar 2008, o 22:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 248 razy
Re: Optymalny trójkąt prostokątny
Pokazanie, że ze wszystkich trójkątów równoramiennych o ograniczonym obwodzie największe pole będzie miał trójkąt prostokątny jest trywialne (\(\displaystyle{ \sin\alpha\leq 1}\)).
-
- Administrator
- Posty: 34492
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5222 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7936
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1679 razy
Re: Optymalny trójkąt prostokątny
Możemy zastosować równość, która wyraża związek pomiędzy sumą, różnicą i iloczynem dwóch dowolnych liczb \(\displaystyle{ a, b, }\)
\(\displaystyle{ \frac{(a+b)^2}{4} - \frac{(a-b)^2}{4} = a\cdot b.}\)
Na podstawie tej równości można wykazać, że jeżeli dwa dowolne boki o długościach \(\displaystyle{ a, b }\) zmieniają się w ten sposób , że ich suma długości jest stała, a więc długość trzeciego boku \(\displaystyle{ c }\) przy stałym obwodzie też jest stała, to w przypadku gdy iloczyn długości boków \(\displaystyle{ a\cdot b }\) osiąga wartość największą - otrzymujemy równość \(\displaystyle{ a = b. }\)
\(\displaystyle{ \frac{(a+b)^2}{4} - \frac{(a-b)^2}{4} = a\cdot b.}\)
Na podstawie tej równości można wykazać, że jeżeli dwa dowolne boki o długościach \(\displaystyle{ a, b }\) zmieniają się w ten sposób , że ich suma długości jest stała, a więc długość trzeciego boku \(\displaystyle{ c }\) przy stałym obwodzie też jest stała, to w przypadku gdy iloczyn długości boków \(\displaystyle{ a\cdot b }\) osiąga wartość największą - otrzymujemy równość \(\displaystyle{ a = b. }\)