Matematyka.pl

Mam problem ;/naturalnie z indukcją,gdyby ktoś potrafił rozwiązać takie zadanko
p.s (to "n" które znajduje się za wyrażeniem(1-x) to potęga n-ta.

\(\displaystyle{ (1-x)^n qslant 1 + nx}\) dla x ≥-1 , n є N



BYŁABYM BARDZO WDZIĘCZNA!!

Chyba jest coś nie tak. Choćby dla n=2 nierówność nie zachodzi. Najprawdopodobniej w nawiasie miało być \(\displaystyle{ 1+x}\), bo wtedy robi się z tego nierówność Bernoullieg'o

ale to nie działa

pewnie chodziło Ci o
\(\displaystyle{ (1+x)^n \geqslant 1 + nx}\) dla x ≥-1 , n є N
czyli o nierówność Bernoulliego

dowód:
1 krok n=1 działa:)

2 krok n>=2

chcemy pokazać, że z \(\displaystyle{ (1+x)^n qslant 1 + nx}\) wynika\(\displaystyle{ (1+x)^{(n+1) }\geqslant 1 + (n+1)x}\)

\(\displaystyle{ (1+x)^{(n+1)} = (1+x) (1+x)^n\geqslant}\)(z zał.ind)\(\displaystyle{ \geqslant(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2\geqslant 1+(n+1)x}\)

a więc stosując zasadę indukcji wykazaliśmy co trzeba było:)

dziękuję obydwu Panom:]

jarekp pisze:ale to nie działa



\(\displaystyle{ (1+x)^{(n+1)} = (1+x) (1+x)^n\geqslant}\)(z zał.ind)\(\displaystyle{ \geqslant(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2\geqslant 1+(n+1)x}\)

Nie mogę pojąć w jaki sposób przechodzicie przez to "załozenie indukcyjne". O którą część chodzi.
Która w tym zapisie jest prawa ,a która lewa strona, bo ja się gubię osobiście.
Proszę o pomoc!

Lewa to jest ta bliżej serca. Prawą zapewne jesz i piszesz.
Założenie indukcyjne się po prostu stosuje, gdy się ono pojawia. A żeby się pojawiło, to trzeba się czasem napocić, a czasem samo wyskakuje, tak jak tutaj.