Matematyka.pl

Witam, musze wykazac rownosc za pomoca indukcji matematycznej. Nie wiem czy dobrze mysle, ale chodzi o to, ze w tezie zaznaczyc iz \(\displaystyle{ k=n+1}\) czy \(\displaystyle{ n=k+1}\)?

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4k^2-1}=\frac{n}{2n+1}}\)

Zasada indukcji matematycznej:
1. Sprawdzamy poprawność dla n=1 - jest OK
2. Zakładamy, że teza zachodzi dla pewnego n. Sprawdzamy, czy w związku z tym teza zachodzi dla n+1, czyli w Twoim przypadku masz sprawdzić czy z faktu, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4k^2-1}=\frac{n}{2n+1}}\)
wynika:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{4k^2-1}=\frac{n+1}{2(n+1)+1}}\)

Tą równość musisz wykazać przez rozbicie lewej sumy na dla składniki (suma do n i n+1 wyraz), a następnie skorzystać z założenia i przekształcić.

Jasne. Dochodzę do tego, iż \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{4n^2-1}+\frac{1}{4(n+1)^2-1}=}\) Lecz później za nic nie mogę dojść do prawej strony

musisz wykazać:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4n^2-1}+\frac{1}{4(n+1)^2-1}=\frac{n+1}{2(n+1)+1}}\)
No więc:
\(\displaystyle{ L=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4n^2-1}+\frac{1}{4(n+1)^2-1}=\frac{n}{2n+1}+\frac{1}{4(n+1)^2-1}=
\frac{n}{2n+1}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\\=\frac{n(2n+3)+1}{(2n+1)(2n+3)}=
\frac{(n+1)(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n+1}{2(n+1)+1}=P}\)