Wykazac rownosc za pomoca...

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
bah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 26 wrz 2007, o 19:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Hmm
Podziękował: 1 raz

Wykazac rownosc za pomoca...

Post autor: bah » 30 wrz 2007, o 00:57

Witam, musze wykazac rownosc za pomoca indukcji matematycznej. Nie wiem czy dobrze mysle, ale chodzi o to, ze w tezie zaznaczyc iz \(\displaystyle{ k=n+1}\) czy \(\displaystyle{ n=k+1}\)?

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4k^2-1}=\frac{n}{2n+1}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Wykazac rownosc za pomoca...

Post autor: scyth » 30 wrz 2007, o 01:05

Zasada indukcji matematycznej:
1. Sprawdzamy poprawność dla n=1 - jest OK
2. Zakładamy, że teza zachodzi dla pewnego n. Sprawdzamy, czy w związku z tym teza zachodzi dla n+1, czyli w Twoim przypadku masz sprawdzić czy z faktu, że:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4k^2-1}=\frac{n}{2n+1}}\)
wynika:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{4k^2-1}=\frac{n+1}{2(n+1)+1}}\)

Tą równość musisz wykazać przez rozbicie lewej sumy na dla składniki (suma do n i n+1 wyraz), a następnie skorzystać z założenia i przekształcić.

bah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16
Rejestracja: 26 wrz 2007, o 19:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Hmm
Podziękował: 1 raz

Wykazac rownosc za pomoca...

Post autor: bah » 30 wrz 2007, o 10:41

Jasne. Dochodzę do tego, iż \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{4n^2-1}+\frac{1}{4(n+1)^2-1}=}\) Lecz później za nic nie mogę dojść do prawej strony

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Wykazac rownosc za pomoca...

Post autor: scyth » 30 wrz 2007, o 14:58

musisz wykazać:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4n^2-1}+\frac{1}{4(n+1)^2-1}=\frac{n+1}{2(n+1)+1}}\)
No więc:
\(\displaystyle{ L=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4n^2-1}+\frac{1}{4(n+1)^2-1}=\frac{n}{2n+1}+\frac{1}{4(n+1)^2-1}=
\frac{n}{2n+1}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\\=\frac{n(2n+3)+1}{(2n+1)(2n+3)}=
\frac{(n+1)(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n+1}{2(n+1)+1}=P}\)

ODPOWIEDZ