Matematyka.pl

Hej! Od 2 dni głowię się z następującym zadaniem:

Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 0}\) liczba \(\displaystyle{ 8 ^{n+2} + 9 ^{2n+1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 73}\).

Dowód musi zostać przeprowadzony przy pomocy indukcji matematycznej.

Czy ktoś mógłby wskazać mi prawidłowe rozwiązanie?

Z góry bardzo dziękuję!

\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Dla \(\displaystyle{ n=0}\) mamy
\(\displaystyle{ 8^{n+2}+9^{2n+1}=8^2+9^1=73}\), oczywiście \(\displaystyle{ 73}\) dzieli \(\displaystyle{ 73}\).
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) liczba \(\displaystyle{ 8 ^{n+2} + 9 ^{2n+1}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 73}\).
Wówczas możemy zapisać \(\displaystyle{ 8^{n+3}+9^{2n+3}=81\cdot (8^{n+2}+9^{2n+1})-73\cdot 8^{n+2}}\)
Pierwszy składnik jest podzielny przez \(\displaystyle{ 73}\) na mocy założenia indukcyjnego, a drugi, jak widać, jest wielokrotnością \(\displaystyle{ 73}\).
Wywnioskowaliśmy zatem, że jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \NN}\) jest
\(\displaystyle{ 73\left| (8^{n+2}+9^{2n+1})}\), to także

\(\displaystyle{ 73\left| (8^{(n+1)+2}+9^{2(n+1)+1})}\)
co kończy dowód.

Czy mógłbyś wytłumaczyć mi poniższe przekształcenie?
\(\displaystyle{ 8^{n+3}+9^{2n+3}=81\cdot (8^{n+2}+9^{2n+1})-73\cdot 8^{n+2}}\)

Wymyśliłem je sobie. Z kapelusza wzięte (czy z kosmosu, jak kto woli). Nie ma raczej ogólnej metody na rozpisywanie czegoś takiego, po prostu chciałem w jakiś sposób „wydobyć" wyrażenie występujące w założeniu indukcyjnym.
Ale jeśli chodzi o to, jak pokazać, że jest to prawda, to \(\displaystyle{ 9^{2n+3}=81\cdot 9^{2n+1}}\) oraz \(\displaystyle{ 81\cdot 8^{n+2}-73\cdot 8^{n+2}=(81-73)\cdot 8^{n+2}=8^{n+3}}\)

Można wprawdzie trochę to uogólnić, ale nie za bardzo.