Matematyka.pl

Rozwiąż graficznie i algebraicznie równanie \(\displaystyle{ f(x)=g(x).}\)

\(\displaystyle{ f(x) = \left| \frac{4}{|x|-2} \right|}\)

\(\displaystyle{ g(x) = x-2}\)

Zastanawiam się jak to rozwiązać, rozważać na przypadki?

Jeżeli chodzi o algebraicznie, to tak.
Jeżeli chodzi o graficznie, dobrze jest zauwazyć dwie rzeczy:
1)pierwsza funkcja jest na pewno parzysta
2)pierwsza funkcja jest wymierna (wykres hiperbola)

W rozwiązaniu algebraicznym nie trzeba żadnych przypadków, bo z równości:
\(\displaystyle{ \left| \frac{4}{|x|-2} \right|=x-2}\)
wynika, że \(\displaystyle{ x\ge 2}\) (bo lewa strona jest nieujemna, zatem prawa też).

A stąd oczywiście równanie jest równoważne:
\(\displaystyle{ \frac{4}{x-2}=x-2}\).

Q.

No tak!

Chyba można napisać \(\displaystyle{ x>2}\), bo lewa strona nigdy \(\displaystyle{ 0}\) nie będzie.

Zgadza się.

Dziękuję bardzo za pomoc, przy okazji zapytam jeszcze o rysowanie wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x).}\)
Jak najlepiej rozwiązywać zadania tego typu? Moja nauczycielka matematyki proponuje rozwiązanie w takich krokach:
1) tabelka dla funkcji 'pierwotnej' (nie lubię tego nazewnictwa z wiadomych przyczyn, takie ona jednak stosuje), czyli dla funkcji \(\displaystyle{ \frac{4}{x}}\)

2) przesunięcie punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) o współrzędną \(\displaystyle{ [2,0]}\),

3) przesunięty punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\) nazywany jest 'nowym układem współrzędnych,

4) rysowanie wykresu przez przesuwanie po kratkach

5) na końcu kombinowanie z odbiciami symetrycznymi względem osi OX oraz OY.

Dla mnie jest to sposób bardzo czasochłonny, czy macie Państwo jakiś szybszy sposób na rozwiązywanie tego typu zadań? Przy próbie narysowania takiego oto przykładowego równania, mam naprawdę spore problemy:
\(\displaystyle{ f(x) = \left| \left| \frac{4}{|x|-2} \right| - 1 \right|}\)

Szybciej się nie da. Jak nabierzesz wprawy rysunki będą sprawniejsze.