Graficzne i algebraiczne rozwiązanie równania.

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
nicrovishion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 18 kwie 2014, o 23:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ~Poznań
Podziękował: 19 razy

Graficzne i algebraiczne rozwiązanie równania.

Post autor: nicrovishion » 16 lut 2016, o 19:24

Rozwiąż graficznie i algebraicznie równanie \(\displaystyle{ f(x)=g(x).}\)

\(\displaystyle{ f(x) = \left| \frac{4}{|x|-2} \right|}\)

\(\displaystyle{ g(x) = x-2}\)

Zastanawiam się jak to rozwiązać, rozważać na przypadki?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Kacperdev
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Graficzne i algebraiczne rozwiązanie równania.

Post autor: Kacperdev » 16 lut 2016, o 19:52

Jeżeli chodzi o algebraicznie, to tak.
Jeżeli chodzi o graficznie, dobrze jest zauwazyć dwie rzeczy:
1)pierwsza funkcja jest na pewno parzysta
2)pierwsza funkcja jest wymierna (wykres hiperbola)

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2628 razy

Graficzne i algebraiczne rozwiązanie równania.

Post autor: » 16 lut 2016, o 19:56

W rozwiązaniu algebraicznym nie trzeba żadnych przypadków, bo z równości:
\(\displaystyle{ \left| \frac{4}{|x|-2} \right|=x-2}\)
wynika, że \(\displaystyle{ x\ge 2}\) (bo lewa strona jest nieujemna, zatem prawa też).

A stąd oczywiście równanie jest równoważne:
\(\displaystyle{ \frac{4}{x-2}=x-2}\).

Q.

Awatar użytkownika
Kacperdev
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Graficzne i algebraiczne rozwiązanie równania.

Post autor: Kacperdev » 16 lut 2016, o 19:57

No tak!

macik1423
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 873
Rejestracja: 8 paź 2009, o 10:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: R do M
Podziękował: 54 razy
Pomógł: 234 razy

Graficzne i algebraiczne rozwiązanie równania.

Post autor: macik1423 » 16 lut 2016, o 19:58

Chyba można napisać \(\displaystyle{ x>2}\), bo lewa strona nigdy \(\displaystyle{ 0}\) nie będzie.

Awatar użytkownika
Kacperdev
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3260
Rejestracja: 23 mar 2010, o 19:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 686 razy

Graficzne i algebraiczne rozwiązanie równania.

Post autor: Kacperdev » 16 lut 2016, o 20:14

Zgadza się.

nicrovishion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 18 kwie 2014, o 23:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ~Poznań
Podziękował: 19 razy

Graficzne i algebraiczne rozwiązanie równania.

Post autor: nicrovishion » 16 lut 2016, o 20:26

Dziękuję bardzo za pomoc, przy okazji zapytam jeszcze o rysowanie wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x).}\)
Jak najlepiej rozwiązywać zadania tego typu? Moja nauczycielka matematyki proponuje rozwiązanie w takich krokach:
1) tabelka dla funkcji 'pierwotnej' (nie lubię tego nazewnictwa z wiadomych przyczyn, takie ona jednak stosuje), czyli dla funkcji \(\displaystyle{ \frac{4}{x}}\)

2) przesunięcie punktu \(\displaystyle{ (0,0)}\) o współrzędną \(\displaystyle{ [2,0]}\),

3) przesunięty punkt \(\displaystyle{ (0,0)}\) nazywany jest 'nowym układem współrzędnych,

4) rysowanie wykresu przez przesuwanie po kratkach

5) na końcu kombinowanie z odbiciami symetrycznymi względem osi OX oraz OY.

Dla mnie jest to sposób bardzo czasochłonny, czy macie Państwo jakiś szybszy sposób na rozwiązywanie tego typu zadań? Przy próbie narysowania takiego oto przykładowego równania, mam naprawdę spore problemy:
\(\displaystyle{ f(x) = \left| \left| \frac{4}{|x|-2} \right| - 1 \right|}\)

Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7264
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 942 razy

Graficzne i algebraiczne rozwiązanie równania.

Post autor: Kartezjusz » 16 lut 2016, o 20:31

Szybciej się nie da. Jak nabierzesz wprawy rysunki będą sprawniejsze.

ODPOWIEDZ