Matematyka.pl

\(\displaystyle{ x^3-3x= \sqrt{x+2}}\)
(zał. \(\displaystyle{ x \in R}\))
x = ?

Na siłę to można podnieść do kwadratu, dwójka jest pierwiastkiem. Dalej poprzez hardkorowe grupowanie można wyłączyć, \(\displaystyle{ -1+x+x^2}\) i zostaje nam już wielomian 3 stopnia, który można pocisnąć wzorami Cardano

Dziedzina: \(\displaystyle{ x\ge 2}\). Rozważmy dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ x\in [-2,2]}\) - podstawiamy \(\displaystyle{ x=2\cos t}\) i korzystamy z wzorów na \(\displaystyle{ \cos 3x}\) i \(\displaystyle{ \cos 2x}\)
2. \(\displaystyle{ x>2}\) Wtedy \(\displaystyle{ x^3-3x > x > \sqrt{x+2}}\), więc w tym przedziale nie ma rozwiązań.

No mnie się wydaje, że pierwsze rozwiązanie jest typu "strzelmy se to do wolframa i spróbujmy przekonać ludzi, że da się na to wpaść". Rozwiązanie Freja jest natomiast chyba najfajniejsze, bo nie wymaga niczego hardcorowego, a jedynie sztuczki, która w pewnych kręgach jest dość dobrze znana

frej, minusa w dziedzinie zapomniałeś . Osobiście bardzo ciekawi mnie ta metoda, mógłbyś przedstawić całe rozwiązanie z opisem?

Jak już podstawisz \(\displaystyle{ x=2 \cos t}\) (możemy założyć, że \(\displaystyle{ t \in \left[ 0; \pi \right]}\), bo na tym przedziale funkcja przyjmie wszystkie swoje możliwe wartości) to dostaniesz:

\(\displaystyle{ 8 \cos^3 t - 6 \cos t = \sqrt{2(\cos t + 1)}}\)

\(\displaystyle{ 4 \cos^3 t - 3 \cos t = \sqrt{\frac{\cos t + 1}{2}}}\)

I teraz wystarczy zauważyć, że lewa strona to tak naprawdę \(\displaystyle{ \cos 3t}\), a prawa to \(\displaystyle{ \cos \frac{t}{2}}\).

Czyli trzeba rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ \cos 3t = \cos \frac{t}{2}}\).

Ale nie widzę szczególnie szczęśliwego rozwiązania tego równania. Może jest to banalne, ale tego nie widzę. Może późna pora robi swoje

Najwyżej Frej dopowie, jak to zrobić.

Wzór na różnicę cosinusów jest chyba najpewniejszym remedium.

Dzięki

Do usług