Ciekawe równanie

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6098
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2531 razy
Pomógł: 671 razy

Ciekawe równanie

Post autor: mol_ksiazkowy » 18 sie 2011, o 22:58

\(\displaystyle{ x^3-3x= \sqrt{x+2}}\)
(zał. \(\displaystyle{ x \in R}\))
x = ?

exupery
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 518
Rejestracja: 21 lut 2007, o 17:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kluczewsko
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 67 razy

Ciekawe równanie

Post autor: exupery » 19 sie 2011, o 00:34

Na siłę to można podnieść do kwadratu, dwójka jest pierwiastkiem. Dalej poprzez hardkorowe grupowanie można wyłączyć, \(\displaystyle{ -1+x+x^2}\) i zostaje nam już wielomian 3 stopnia, który można pocisnąć wzorami Cardano

frej

Ciekawe równanie

Post autor: frej » 19 sie 2011, o 01:14

Dziedzina: \(\displaystyle{ x\ge 2}\). Rozważmy dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ x\in [-2,2]}\) - podstawiamy \(\displaystyle{ x=2\cos t}\) i korzystamy z wzorów na \(\displaystyle{ \cos 3x}\) i \(\displaystyle{ \cos 2x}\)
2. \(\displaystyle{ x>2}\) Wtedy \(\displaystyle{ x^3-3x > x > \sqrt{x+2}}\), więc w tym przedziale nie ma rozwiązań.

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

Ciekawe równanie

Post autor: Marcinek665 » 19 sie 2011, o 01:40

No mnie się wydaje, że pierwsze rozwiązanie jest typu "strzelmy se to do wolframa i spróbujmy przekonać ludzi, że da się na to wpaść". Rozwiązanie Freja jest natomiast chyba najfajniejsze, bo nie wymaga niczego hardcorowego, a jedynie sztuczki, która w pewnych kręgach jest dość dobrze znana

kamil13151
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5019
Rejestracja: 28 wrz 2009, o 16:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 459 razy
Pomógł: 912 razy

Ciekawe równanie

Post autor: kamil13151 » 19 sie 2011, o 12:11

frej, minusa w dziedzinie zapomniałeś . Osobiście bardzo ciekawi mnie ta metoda, mógłbyś przedstawić całe rozwiązanie z opisem?

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

Ciekawe równanie

Post autor: Marcinek665 » 20 sie 2011, o 04:54

Jak już podstawisz \(\displaystyle{ x=2 \cos t}\) (możemy założyć, że \(\displaystyle{ t \in \left[ 0; \pi \right]}\), bo na tym przedziale funkcja przyjmie wszystkie swoje możliwe wartości) to dostaniesz:

\(\displaystyle{ 8 \cos^3 t - 6 \cos t = \sqrt{2(\cos t + 1)}}\)

\(\displaystyle{ 4 \cos^3 t - 3 \cos t = \sqrt{\frac{\cos t + 1}{2}}}\)

I teraz wystarczy zauważyć, że lewa strona to tak naprawdę \(\displaystyle{ \cos 3t}\), a prawa to \(\displaystyle{ \cos \frac{t}{2}}\).

Czyli trzeba rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ \cos 3t = \cos \frac{t}{2}}\).

Ale nie widzę szczególnie szczęśliwego rozwiązania tego równania. Może jest to banalne, ale tego nie widzę. Może późna pora robi swoje

Najwyżej Frej dopowie, jak to zrobić.

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Ciekawe równanie

Post autor: Rogal » 20 sie 2011, o 08:31

Wzór na różnicę cosinusów jest chyba najpewniejszym remedium. ;-)

Marcinek665
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

Ciekawe równanie

Post autor: Marcinek665 » 20 sie 2011, o 14:28

Dzięki

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Ciekawe równanie

Post autor: Rogal » 20 sie 2011, o 21:41

Do usług :-)

ODPOWIEDZ